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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试1数 学(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则下列运算正确的是（ ）ABCD 2如图所示是一个长方形，其内部阴影部分为两个半圆，在此圆形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）ABCD 3已知条件：，条件：，则是成立的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4已知数列是公比为的等比数列，且，成等差数列，则公比的值为（ ）ABC或D或 5若的展开式中的二项式系数和为，的系数为，则为（ ）ABCD 6如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：），在
2、此几何体的表面积是（ ）ABCD 7已知函数是定义在内的奇函数，且是偶函数，若，则为（ ）ABCD 8如图是一个算法的流程图，则输出的值是（ ）A15B31C63D127 9设函数对任意的，都有，若函数，则的值是（ ）ABC或D或 10若，则下列不等式成立的是（ ）ABCD 11抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线在轴右侧的部分相交于点，过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的面积是（ ）ABCD 12已知递增数列对任意均满足，记（），则数列的前项和等于（ ）ABCD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知向量，则 14设实数满足则的取值范围是 15已知是双曲线：的一个焦点，为坐标原点
3、，是双曲线上一点，若是等边三角形，则双曲线的离心率等于 16如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知在中，所对的边分别为，且有（1）求角的大小；（2）当时，求的最大值18如图，底面是边长为3的正方形，平面，与平面所成角为（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值19为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”（单位：天），某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了80名青年学生（其中男女人数各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两
4、组，再将每组青年学生的月“关注度”分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图（1）求的值；（2）现从“关注度”在的男生与女生中选取3人，设这3人来自男生的人数为，求的分布列与期望；（3）在抽取的80名青年学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率20已知椭圆的焦点分别为，离心率，过左焦点的直线与椭圆交于两点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆有两个不同的交点，且点在点之间，试求和面积之比的取值范围（其中为坐标原点）21已知函数（1）判断函数在区间上零点的个数；（2）当时，若在（）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围请考生在第22、23题中任选
5、一题做答如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号22（本小题满分10分） 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交曲线于两点，求点到两点的距离之积23（本小题满分10分） 选修45：不等式选讲已知函数（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数的图象，并写出不等式的解集（不要求写出解题过程）；（2）若不等式对任意的恒成立，求的最小值2019年普通高等学校招生全国统一考试1数 学(理科) 答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
6、 题号123456789101112答案BBACBADCDDCD1【解析】，2【解析】3【解析】，故选A4【解析】，或5【解析】二项式的展开通项， 令，解得展开式中的系数为6【解析】该几何体为一个正方体和一个四棱锥组成，此几何体的表面积是7【解析】，函数的周期为8【解析】由程序框图可知： 9【解析】，关于对称，的值是或10【解析】，11【解析】直线的方程为，由，且，解得，12【解析】，数列单调递增，若，则，矛盾；若，则，成立；若，则，矛盾；综上，则当，数列是以为首项，为公比的等比数列，的前项和等于二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13 14 15 1613【解析】，14【解析】由约束条件作
7、出可行域如图，从图可知由，解得，的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率,，的取值范围是15【解析】是等边三角形，代入，得，解得16【解析】易证平面，设，三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17【解析】（1）由及正弦定理，得，即，即在中，得（2）由余弦定理，得，即，故，当且仅当时，取等号，即的最大值为18（1）证明：平面，平面，又底面是正方形，平面（2），两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，与平面所成角为，即，由，可知，则，设平面的一个法向量为，则即 令，则平面，为平面的一个法向量，二面角为锐角，二面角的余弦值为19【解析】（1）（2）从频率分布直方图可知在内的男生人数为人
8、，女生人数为人，男女生共6人，因此的取值可以为1,2,3，故，的分布列为123数学期望（3）记“在抽取的80名青年学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件，在抽取的女生中，月“关注度”不少于25天即在内的人数为2，在抽取的男生中，月“关注度”不少于25天即在内的人数为4，则在抽取的80名学生中，共有6人月“关注度”不少于25天，从中随机抽取2人，所有可能的结果有种，而事件包含的结果有种，20【解析】（1）在中，由正弦定理，得，由椭圆定义，得，故又，椭圆的标准方程为（2）依题意，知直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去整理，得，由，解
9、得设，则可知，同号，令，则，且将代入韦达定理，得消去，得，即由，得，即，且，解得或又，故和面积之比的取值范围为21【解析】（1）令，得记，则，由此可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，又，故当时，在区间上无零点当或时，在区间上恰有一个零点当时，在区间上有两个零点（2）在区间（）上存在一点，使得成立等价于函数在区间上的最小值小于零当，即时，在区间上单调递减，的最小值为，由，可得，当，即时，在区间上单调递增，的最小值为，由，可得当，即时，可得的最小值为，此时不成立综上所述，实数的取值范围是22【解析】（1）由题知，曲线化为普通方程为由，得，直线的直角坐标方程为（2）由题知，直线的参数方程为（为参数），代入曲线：中，化简，得，设，两点所对应的参数分别为，则，23【解析】（1）作图如下：从图中可知，不等式的解集为（2）由（1）知，即，当且仅当时取等号，的最小值为第 10 页 共 10 页
