微积分答案

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1、Scanned by CamScanner 我们会给下奖励 在使用本书时如果发现任何问题 ，请发送至邮箱387 66 506 0 q ， E Eer编 微积分 I习题 答案 ， 。 ， Scanned by CamScanner 习题2 .2. . “ “ “ “ 习飓 1.2 - “ “ “ “ “ “ “ “ “ “” 26 目录 Scanned by CamScanner 2 b，假设当n - k 时 ，不等式成立 ，则k ! 气 卫 ) 是 、 ， 当n - 2时 ，显然成立; 解：()先 证 左 边nl 气 卫 ” 3 2 4. 证 明 ：当 n 1 时，有 ( y nl ( n “

2、 ) 。 ，n N. ” ! 买 d . 女 . n ” I = I- I = 解：由柯西 一 施瓦兹不 等式 a, b， 之 ( a， b ，) ： a, a : an 综上， (l +a，)+ a, 则对于n - k+l时也成立 则当n - k+l时 假设n - k 时 成立 ，即(1 +a，)(1 +a，) . (l +a，) 1+ +a，+ +a ， 当n - 1时， 左边 = 1+ar，右边 = 1+ar，不等式成立 2.I- 二：， ” 、主 。，(a，。 - 且符号相同) ； ， 产 2 2 ， 佷 产匕 。 2 + 2 . 三罟 (当。：y时 取 等 号) ， 解： . . y

3、 咔咔 - ” 竽 1.设佷 .V 为 正 数 ，x + y - 1， 证明 ：r ： + y ： 卡 卡甘 ； 习题1 .1 Scanned by CamScanner 6 (1) 1 : + + - + n : . N (n + w 2 nu . 6利 用 数 学 归纳 法 证 明： ， ， 原式得 证 f = I i= i= 山千a, 2 0且满足(2工a，鸣)： - 4( a， ：)( ) 0 I- I- I l I- 解 : i (x) = ( a, 2 ) x 2 + 2 ( a, b ) x + b . (a, x +b ,) 2 20 = l I = I f = 西 一 施瓦兹

4、不等式(1.1.8)： y O )成 立的充分必 要条 件 是b _ 4ac O (或b ： _ 4ac O ) ，利用此结论证 明 柯 ，设V - ar 2 +bx +C (a o)为实系数 ，次三 项 式 ，求证：Vx R均伽 0(或 3 2 ; i. , ( n “ y , k 2 ) 3 - 3 2 23 k (k+ l) k+l 2 + l + 3i + + (k + l )! k + l Scanned by CamScanner 3 6 6 8.求函数V - f(X)，已知 解： - 1 守 1 定义域为 - 2,4 (4) - a rc c o s ， 1 - x 解： - 2

5、 . . 定义域为(2k 石 ，2“ “ 于 )l k“ (3). y - In( - 2 cos x ) ; 解 ： 6 +x - X ： 之 O定 义 域为 - 2,3 (21 y - 46+ x - x z ; 解 ： l +xO定义域为( - oD , - 1) U ( - 1，+ -“ o) 7.求下列函数 的定义域 ： ， ，对于 一 切n R 皆成立 = 2 l2 sin a 成立 s i n 2 k + 2 a 则当 n - k+l 时, c o s a cos 2at . cos2 k a c 0 5 2 “ a - Y cos 2 4 + a b。假设当n - k 时 ，C

6、 0S口 C0 S 2 c r .“ C 0 S 2 a 。1 sin 0 ： s i n 2 k a 2 s in a 4 si n a 解 : a. 当 n - 1 时 , c os a cos 2 a - - - cos 2 a = - : s i n 2 a s i n 4 a I (2) cosa co s 2a - cos 4 a . cos2 “ a - 2 “ sin a s in 2 “ a ， ，对于 一 切n皆满足 J k + Wk + 2X2k + 31 h 2 k +7 k +6 则当 n - k+ l 时, 1 2 + 2 t + . + (k + l ) = k

7、(k+ l) (2k+ l) + (k + l) 2 b，假设当n - k 时 ，1 2 +2 2 + .、 、 + k z . 6 k(k + IX 2 k + 1) 解： a、当n - 1时，显然成立 ； Scanned by CamScanner (2). v - sin ? (2 “ + 7 ), x 解 : y - e “ , u - , . Ar c tan r, t 1 r c l m r. 11.用几： 贸 初等函数及其四则运 算表 示下列 函数 的复合 关 系 ： x f Y u _ I x - 1 x - 1 x x - 1 f (x) g (f x) = (In x) 2

8、 (x 0) gj g(xD = x 4 (x R ) w : f (f x) = n(ln x) (x 1) :. $x) = - 4x . . F(s in x) = - 4s in X C O S X - - 4s i n xv i - T , l “ l 2 -l xl 1r 2f( - s in x) + 3f (s i nx) = - 4 s i n x c os x z. 2 f ( s i nx) + 3f( - s i n x) = 4s i n X C O S X , l xl (4) 2f (s i n x) + 3f( - s i n x ) = 4s inxc osx

9、, Ixl I R. . : f : . = l+c osx-2 - 2s i. - f ( x) = 2 - 2 * d xl : : n (3) f( s I n ) _ 1 + c os x ; Scanned by CamScanner (1)当八 X)与 g( ， )均严 格増加时 ： 4.试讨论 复合函数 .V - f 8(x的单调性 ： 显然八 f(x, D l o - u soa l i u+ $li$+Yah USOJ = “ x “ O . u x “ Jr t x xMl ( ) . 4 - u + - u v = “ x UII 【 i M 3 l y - . IW 1

10、 - u x ( u _ _ u . : 4 - u u 抖幫 戦卫显著彌际陌生乙 ： O = “4 高； 普勃罾透骨髟覃明O = “ X 高； ( 【 ) a : $ a : i!$ u u! s * 0 = 9 ; ( t ) “x ， ，取= 乡 +3 + l ，当n N时，总有。 q ” 。 。 t ( n _ 3n) t j ( n - 3) 6n 6 - n (n - 1xn - 2) t 3 - t 3 (n - 1) (n - 2) (n 3) 6n 2 6 n n 解： VE o ,要使I . q ” - 0l 而I. q ”1 = 。 I i ” 一 示 (M = l )

11、(4) l i m n 2 q “ - 0(l q O , 取 N = ( +l , 当 n NM , 、 、仅 需证 明l im 一 3 ,， - O 解 : . : i m ar ct an n - 2 1r ar ct an n n 2 + n+l 解： 对V o.取N = 士 “ +l ，当n 邡时， Scanned by CamScanner n 10 (2)必 要 性 ， n4 艮】 l im X . 一 月 。 ，VE 0 ,3N N ,当n N 时，有l x。 - A E n4“ l imxz . - , - AV 0 , N. N , 当 2n - I2 N . + 1 即

12、n N . + l 时, 有 x : - 1 - A 3 . , hl n x 2 = 9 解： VEO ,取I - min 1， ，则当O X - 3 时 x-3 (2) l i m x 2 - 9, T-0 x . , l im x s i n - . 0 一 只需 1 E , 即取 I = E , 当 0. . 願于 , 有 X s i。： - E 解 VE ：0，要使 İ 。 ： - “，而“ 。 ”： - s i n (1) v : x s I n L 0 ; 9.用函 数 极 限 的 定 义证 明 ： 2k 2k - s* 5k 2 是什么? n 8.设X . - ( - 1) ”

13、 ，写出 )的 严数列 ：， ， ：， 一 ， ， ， ， k k=1,2,3， .-： 们 的 极 限 Scanned by CamScanner (7) i m n x = - oc , x - +x 3x - 1 3 、 ，l i m 。 1 、 ，取K = m a x ， ，当同 尤时 ， - E 一 一 。 只要 .一 同 ： 解： VE o,要使廉 - E X4+X 3x - 1 3 (6) im = - x +l X+ x - 1 . ，l im = 2 2x +l 取 K = m a x 1, j , l l “ , l i - 0 ; ” 竺 一无穷“ (4) j : ( .

14、 r) = c o s x sin . x - 0 0 , X “ s in - - O (无穷小量) ,-0 x (3) j (x) = . sin - , x - O (a 0) ; (2 )只 ， - q ” ，n 0 0 ,q为 常 数 ； 解：( - 1) ” -极限不存在，所以两者均不是 n - +x 0.下 列 变 量 中 ， 。 哪 些 是无 穷 小 量 哪 些 是 无 穷 大 量?哪些 两 者 都 不 是 ? 取K - og.G ,则x K 时，恒有a G 解： VG o ,要使a GXl og , G ,-0 . , l im In x - - 0 0 w-j w, Inx - G 解： VG O ,要使l n x - Gx e - “ Scanned by CamScanner n n l 15 解：原“ = 对 六 一 六 六去 ” 不出I - 不出Al n - +“ (3 - 2 y - 3 解：原式 l i m n - +x (3n - 2) (5) l i n 4 + 1 0 “ “ 0 , l a oo, 0) ;