微积分常用公式与运算法则(下)

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1、同济二版微积分(下) 1 微积分公式等价无穷小： 2 0, sintanarcsinarctan ln(1)1; 1 cos; 2 (1)1(0); 1ln (0,1). x a x x xxxxx xe x x xax a axa aa + + 当时基本积分表 1 2 2 2 2 2 2 d(1, d) d 1 1 dln| 1 darctan 1 1 darcsin 1 cos dsin sin dcos 1 dsecdtan cos 1 dcscdcot sin sec tandsec csc cotdcs kxkxC kxxC x xxC xxC x xxC x xxC

2、x xxxC xxxC xxxxC x xxxxC x xxxxC xxx + =+=+ =+ + =+ =+ + =+ =+ = + =+ = + =+ = 时 cxC+ d d(0,1) ln sinh dcosh coshdsinh xx x x exeC a axC aa a xxxC xxxC =+ =+ =+ =+ 不定积分线性运算法则 ( )( )d( )d( )du xv xxu xxv xx+=+ 不定积分的换元法 1 ( ) ( ) ( )( )d( )d ( )d ( ) ( )d ux tx fxxxf uu f xxfttt = = = = 积分公式 () 22 22

3、 222 22 22 22 22 22 d1 arctan d arcsin d1 arcsin(0,0) d1 ln 2 sec dln |sectan| csc dln|csccot| d ln(0) d ln | xx C axaa xx C a ax xbx C ab ba ab x xxa C xaaxa xxxxC xxxxC x xxaC a xa x xxaC xa =+ + =+ =+ =+ + =+ =+ =+ + =+ 不定积分的分部积分法 dd dd uvxuvu vx u vuvv u = = 或定积分的换元法 , .( ) (1) ( ), ( ),( ,) ,

4、( , ) , ; (2) ,( , ) ( )d ( ) ( )d b a fC a bxx aba b a b CC f xxfttt = = = 设函数如果函数满足：且或或那么：同济二版微积分(下) 2 0 , , ( )d2( )d ; , , ( )d0 aa a a a fCa a f xxf xx fCa a f xx = = 若并且为偶函数，则若并且为奇函数，则 22 00 2 00 22 00 (sin )d(cos )d (sin )d(sin )d sindcosd nn fxxfxx xfxxfxx xxxx = = = 定积分的分部积分法 dd dd b

5、b b a aa bb b a aa uvxuvvux u vuvv u = = 1,2,3,m = 第五章向量代数与空间解析几何向量的运算 1向量的加法 ()() abba abcabc +=+ +=+ ? ? 2向量与数的乘法（数乘） ()() () () aa aaa abab = +=+ +=+ ? ? ? 3不等式 | | |ababab+ ? 4单位向量 | a a e a = ? ? ? 空间两点间的距离公式 222 12212121 |()()()PPxxyyzz=+ 向量的坐标表示 11112222 12212121 ( ,),(,) (,) Mx y zMxyz M M

7、| ab a a a babba a b beb a = = ? ? ? ? ? ?即 (,) (,) xyzxyzxxyyzz a ba aab b ba ba ba b=+ ? ? 2 | () () ()() a aa a bb a abca ba c aba b = = += + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222222 cos(0) | (,),(,), cos xyzxyz xxyyzz xyzxyz ab a b a b aa aabb b b a ba ba b aaabbb = = + = + ? ? ? ? ? 向量与的夹角满足公式其中若则同济二版

8、微积分(下) 3 (,),(,), 0 xyzxyz xxyyzz aa aabb b b aba ba ba b = += ? ? 若则的充要条件是向量的向量积 () , , ( )| |sin( ) ( ), , abab a b ia babab ii a baba b a b = ? ? ? ? ? ? 设和是两个向量规定与的向量积是一个向量记作它的模与方向分别是: 其中同时垂直于和并且符合右手法则. 000 0 () () ()() a bba aa aa abca cb c aba b = = = += + = ? ? ? ? ? 0a ba b= ?

9、? 的充要条件是 ()()() yzzyzxxzxyyx yzxyzx yzxyzx xyz xyz a b a ba b ia ba bja ba b k aaaaaa ijk bbbbbb ijk aaa bbb =+ =+ = ? ? ? ? 两向量的向量积的几何意义 ( ): | |sin| (|sin ), | ( ): . i a b a ba ba h hb a bab ii a b a bab = ? ? ? ? ? 的模由于所以表示以和为邻边的平行四边形的面积. 的方向与一切既平行于又平行于的平面垂直向量的混合积 () yzxy zx xyz yzxyzx

10、xyz xyz xyz a bc aaaaaa ccc bbbbbb aaa bbb ccc =+ = ? abcbcacab= ? , , 0 xyz xyz xyz a b c aaa bbb ccc = ? ? ? 三向量共面的充要条件是平面的方程 1点法式方程 0000 000 (,)( , ,) ()()()0 MxyznA B C A xxB yyC zz = += ? 过点且以为法向量的平面的方程为 2一般方程 0 ( , ,), , , , ( , ,) 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, AxByCzD A B C x y zA B C nA B C Ax By

11、Cz D ABz BCx CAy += = = = = = = = = ? 三元一次方程不同时为零的图形是平面其中的系数是平面的法向量的坐标即是平面的法向量. 特殊的平面：平行于轴的平面；平行于轴的平面；平行于轴的平面；过原点的平面；垂直于轴的平面；垂直于轴的平面；垂直于轴的平面. 平面的夹角 12121212 222222 12 111222 | cos | n nA AB BC C nn ABCABC + = + ? ? ? ? ? 同济二版微积分(下) 4 12 121212 111 222 0A AB BC C ABC ABC += = 平面和相

12、互垂直的充要条件是: 相互平行的充要条件是: 点到平面的距离 0000 000 222 (,)0 | : P xyzAxByCzD AxByCzD d ABC += + = + 点到平面的距离为直线的方程 1 参数方程 0000 0 0 0 (,)( , , ) . Mxyzsm n p L xxtm yytn zztp = =+ =+ =+ ? 过且以为方向向量的直线的方程为 2 对称式方程（点向式方程） 0000 000 (,)( , , ) . Mxyzsm n p L xxyyzz mnp = = ? 过且以为方向向量的直线的方程为 3 一般方程 11111 22222 1

13、2 1111 2222 111 222 :0 :0 ( , , ), , ,: 0, 0. . L A xB yC zD A xB yC zD M x y zLx y z A xB yC zD A xB yC zD ABC ABC += += += += = 直线可以看作两个平面与的交线.空间一点在直线上当且仅当它的坐标同时满足与的方程的下面的直线方程其中不成立两直线的夹角 12 11112222 12121212 222222 12 111222 (,),(,),: | cos | LL sm n psm np s sm mn np p ss mnpmnp = + = +

14、 ? ? ? ? 直线与的方向向量分别是则夹角公式为 12 121212 111 222 0 LL m mn np p mnp mnp += = 直线和相互垂直的充要条件是: 相互平行的充要条件是: 直线与平面的夹角 222222 ( , , ),( , ,),: | sin | L sm n p nA B C n sAmBnCp ns ABCmnp = + = + ? ? ? ? 直线与平面法线的方向向量分别是则夹角公式为 ; 0. L ABC mnp AmBnCp = += 直线和平面相互垂直的充要条件是: 相互平行的充要条件是: 旋转曲面 () () 22 22 22 22 ( , )0 , ,0; ( , )0 , ,0. Cf y zz yxyCz fxyz f y zyz xzCy

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