《高三数学一轮复习专辑 4.6正弦定理和余弦定理课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习专辑 4.6正弦定理和余弦定理课件（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.6正弦定理和余弦定理 要点梳理 1.正弦定理: ,其中R是三角形 外接圆的半径.由正弦定理可以变形为: （1）abc=sin Asin Bsin C; （2）a= ,b= ,c= ; （3） 等形式,以 解决不同的三角形问题.,2Rsin C,2Rsin A,2Rsin B,基础知识 自主学习,2.余弦定理:a2= ,b2= , c2= .余弦定理可以变形为:cos A ,cos B= ,cos C= . 3. r（r是三角形内切圆的半径）,并可由此计算R、r.,b2+c2-2bccos A,a2+c2-2accos B,a2+b2-2abcos C,4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问
2、题： （1）已知两角及任一边，求其它边或角； （2）已知两边及一边的对角，求其它边或角. 情况（2）中结果可能有一解、二解、无解， 应注意区分. 余弦定理可解决两类问题： （1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题； （2）已知三边问题. 5.解三角形的类型 在ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：,基础自测 1.（2008陕西理，3）ABC的内角A、B、C的 对边分别为a、b、c,若c= ,b= ,B=120, 则a等于（ ） A. B.2 C. D. 解析,D,2.ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若 a、b、c成等比数列，且c=2a,则cos B等于( ) A. B. C
3、. D. 解析 由已知得b2=ac,c=2a,B,3.在ABC中，A=60,a=4 ,b=4 ,则B等 于（ ） A.45或135 B.135 C.45 D.以上答案都不对 解析 由正弦定理得 又ab,A=60,B=45.,C,4.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形 的三边，若abc=16 ，则三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 解析,C,5.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若B=45，b= ，a=1，则C= . 解析 ab,B=45,A为锐角. C=180-30-45=105.,105,题型一 正弦定理的应用 (1)在ABC中,a= ,b= ,B=4
4、5. 求角A、C和边c； （2）在ABC中，a=8，B=60，C=75.求边b 和c； （3）在ABC中，a，b，c分别是A,B,C 的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2= ac-bc，求A及 的值. 已知两边及一边对角或已知两角及 一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注 意解的个数的判断.,题型分类 深度剖析,解,ab,A=60或A=120. 当A=60时，C=180-45-60=75,当A=120时，C=180-45-120=15.,(2)B=60,C=75,A=45. （3）a，b，c成等比数列， b2=ac，又a2-c2=ac-bc， b2+c2-a2=bc. 在ABC中
5、，由余弦定理得,（1）已知两角一边可求第三角，解这 样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. （2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正 弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是 解题的难点，应引起注意.,知能迁移1 在ABC中，若b= ,c=1,B=45, 求a及C的值. 解 由正弦定理得 因为cb,所以CB,故C一定是锐角， 所以C=30,所以A=105，,题型二 余弦定理的应用 在ABC中，a、b、c分别是角A，B，C 的对边，且 （1）求角B的大小； （2）若b= ，a+c=4，求ABC的面积. 由 利用余弦定理 转化为边的关系求解. 解 （1）由余弦定理知：,(1)根据所给等式
6、的结构特点利用余弦 定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. （2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意 整体思想、方程思想在解题过程中的运用.,知能迁移2 已知ABC中，三个内角A，B，C的 对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S，且 2S=（a+b）2-c2，求tan C的值. 解 依题意得absin C=a2+b2-c2+2ab, 由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcos C. 所以,absin C=2ab(1+cos C), 即sin C=2+2cos C,题型三 三角形形状的判定 在ABC中，a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=
7、 （a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状. 利用正弦定理、余弦定理进行边角 互化，转化为边边关系或角角关系. 解 方法一 已知等式可化为 a2sin（A-B）-sin（A+B） =b2-sin（A+B）-sin(A-B) 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理可知上式可化为： sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A,sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0 sin 2A=sin 2B,由02A,2B2 得2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A= -B,ABC为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得
8、2a2cos Asin B=2b2sin Acos B 由正、余弦定理,可得 a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 a=b或a2+b2=c2 ABC为等腰或直角三角形.,判断三角形形状可通过边和角两种途 径进行判断,应根据题目条件，选用合适的策略： （1）若用边的关系，则有：若A为锐角，则b2+c2 -a20;若A为直角，则b2+c2-a2=0；若A为钝角， 则b2+c2-a20. （2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的 三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得 出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时 要注意应用A+B+C=这
9、个结论.,知能迁移3 在ABC中，已知2sin Acos B= sin C，那么ABC一定是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 解析 方法一 因为在ABC中，A+B+C=， 即C=-（A+B），所以sin C=sin(A+B). 由2sin Acos B=sin C, 得2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B, 即sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.,又因为-A-B,所以A-B=0,即A=B. 所以ABC是等腰三角形，故选B. 方法二 利用正弦定理和余弦定理 2sin Acos B=sin C
10、可化为 即a2+c2-b2=c2,即a2-b2=0, 即a2=b2,故a=b. 所以ABC是等腰三角形. 答案 B,题型四 正、余弦定理的综合应用 (12分)在ABC中，a，b，c分别是A，B， C的对边，且满足（2a-c）cos B=bcos C. (1)求角B的大小； (2)若b= ,a+c=4,求ABC的面积. (1)用正弦定理,将边用角代换后求解. (2)用余弦定理,配方出现a+b后代换,求出ac即可. 解 （1）在ABC中，由正弦定理得： a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 代入(2a-c)cos B=bcos C,整理得2sin Acos B=sin Bc
11、os C+sin Ccos B, 4分 即2sin Acos B=sin(B+C)=sin A, 在ABC中，sin A0,2cos B=1, B是三角形的内角，B=60. 6分 （2）在ABC中，由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac-2accos B, 8分 将b= ,a+c=4代入整理，得ac=3. 10分,12分,在求角问题中，一般都是用正、余弦定 理将边化为角.由三角函数值求角时，要注意角的 范围.在应用余弦定理时，要注意配方这一小技 巧，通过配方，使之出现（a+b）2或（a-b）2. 将a+b或a-b作为一个整体，可以带来非常好的效果.,知能迁移4
12、 （2008辽宁理，17）在ABC中， 内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已 知c=2, （1）若ABC的面积等于 ，求a、b的值； （2）若sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求ABC的 面积. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4. 又因为ABC的面积等于 ， 所以 absin C= ,所以ab=4.,(2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin Acos A, 即sin Bcos A=2sin Acos A, 当cos A0时，得sin B=2sin A, 由正弦定理得b=2a,方法与技巧 1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的 重点
13、,利用三角形内角和、边、角之间的关系, 三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求 解三角形，以及利用它们解决一些实际问题. 2.应熟练掌握和运用内角和定理: A+B+C=, 中互补和互余的情况, 结合诱导公式可以减少角的种数.,思想方法 感悟提高,3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由 正、余弦定理结合得sin2A=sin2B+sin2C- 2sin Bsin Ccos A,可以进行化简或证明. 4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种 途径： （1）化边为角；（2）化角为边，并常用正弦 （余弦）定理实施边、角转换. 失误与防范 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边 的对角求另一
14、边的对角,进而求出其他的边和角 时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类 讨论.,一、选择题 1.ABC的三边分别为a，b，c且满足b2=ac， 2b=a+c，则此三角形是 （ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解析 2b=a+c，4b2=（a+c）2， 又b2=ac,(a-c)2=0.a=c. 2b=a+c=2a.b=a，即a=b=c.,D,定时检测,2.ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且 cos 2B+3cos(A+C)+2=0，b= ,则csin C等于 （ ） A.31 B. 1 C. 1 D.21 解析 cos 2B+3cos(
15、A+C)+2=2cos2B- 3cos B+1=0,cos B= 或cos B=1(舍).,D,3.ABC中，AB= ,AC=1,B=30，则ABC的 面积等于 （ ） A. B. C. D. 解析 C=60或120. (1)当C=60时,A=90,BC=2,此时, （2）当C=120时，A=30，,D,4.（2008四川文，7）ABC的三内角A、B、C 的对边边长分别为a、b、c.若 A=2B， 则cos B等于（ ） A. B. C. D. 解析 由正弦定理得,B,5.（2008福建理，10）在ABC中,角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tan B = ac，则角B的值为（ ） A. B. C. D. 解析 (a2+c2-b2)tan B= ac,D,6.在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a,b,c,若 b2+c2-bc=a2,且 ,则角C的值为
