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1、阶段知能检测(七)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a(1,1,0)，b(1,0,3)，且kab与2ab垂直，则k的值为()A.B1C.D2【解析】kab(k1，k,3)，2ab(3,2，3)，由题意，得(k1)3k23(3)0，解得k.【答案】A图712某几何体的正视图如图71所示，则该几何体的俯视图不可能的是()【解析】由正视图知，俯视图不可能是圆与内接四边形，C不正确【答案】C3直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图7
2、2(2)所示，则其侧视图的面积为()图72A4 B. C2 D2【解析】由正视图和俯视图知，直三棱柱的侧视图是长为，宽为2的长方形，故侧视图的面积为2.【答案】C4已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，则nD若n，n，则【解析】A错，两平面也可相交；B错，不符合面面平行的判定定理的条件，需两平面内有两条相交直线互相平行；C错，直线n不一定在平面外；D由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确【答案】D5如图73所示，平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD将ABD折起，使面ABD面BCD，连结AC，则在四面体ABCD的
3、四个面中，互相垂直的平面的对数为()图73A1 B2 C3 D4【解析】ABBD，面ABD面BCD，且交线为BD，则AB面BCD，则面ABC面BCD，同理CD面ABD，则面ACD面ABD，因此共有3对互相垂直的平面【答案】C图746(2012茂名调研)如图74，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是DD1的中点，N是A1B1上的动点，则直线ON，AM的位置关系是()A平行B相交C异面垂直D异面不垂直【解析】如图所示，取BC、AD的中点E、F，分别连结B1E，EF，FA1，则ON平面A1FEB1.AMA1F，AMA1B1，AM平面A1FEB1，AMON.【答案】C
4、图757如图75六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45【解析】PB在底面射影为AB，AB与AD不垂直，PB与AD不垂直，排除A.又BDAB，BDPA，BD面PAB.但BD不在面PBC内，排除B.BDAE，BD面PAE，BC与面PAE不平行，排除C.又PD与面ABC所成角为PDA，AD2ABPA，PDA45.【答案】D图768如图76所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线
5、AC上DABC内部【解析】由已知易推出平面ABC1平面ABC，故C1在底面上的射影H在两平面交线AB上【答案】A第卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为_【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，且设正方体的棱长为1，DB1平面ACD1，取平面ACD1的法向量n(1,1,1)，又(0,0,1)，若设BB1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，DD1|，cos .【答案】10(2011广东高考改编)如图77所示，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为_
6、图77【解析】该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为，故V339.【答案】911已知直线l，m，平面，且l，m，给出四个命题：若，则lm；若lm，则；若，则lm；若lm，则.其中真命题的个数是_【解析】命题，由l，得l，lm，故对命题，lmD/l，则lmD/，故命题错误命题，当时，l与m也可能相交或异面，故错误命题，由l，lm得m，故正确【答案】212(2011辽宁高考)三棱锥PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于_【解析】PA底面ABC，PA为三棱锥PABC的高，且PA3，底面ABC为正三角
7、形且边长为2，底面面积为22sin 60，VPABC3.【答案】图7813如图78所示，过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是_【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量n(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为，故所求的二面角的大小是45.【答案】45图7914如图79所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.【解析】由已知得B1D平
8、面AC1，又CF平面AC1，B1DCF，故若CF平面B1DF，则必有CFDF.设AFx(0x3a)，则CF2x24a2，DF2a2(3ax)2，又CD2a29a210a2，10a2x24a2a2(3ax)2，解得xa或2a.【答案】a或2a三、解答题(本大题共6小题，满分80分解答时需写出文字说明、证明过程和演算步骤)图71015(本小题满分12分)如图710，在四棱锥PABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DCAB，BAD90，且AB2AD2DC2PD4(单位：cm)，E为PA的中点(1)证明：DE平面PBC；(2)证明：DE平面PAB.【证明】(1)如图所示，设PB的
9、中点为F，连结EF、CF，则EFAB，DCAB，EFDC，且EFDCAB，故四边形CDEF为平行四边形，可得DECF，DE平面PBC，CF平面PBC，故DE平面PBC.(2)PD垂直于底面ABCD，AB平面ABCD，ABPD，又ABAD，PDADD，AB平面PAD，ED平面PAD，故EDAB，又PDAD，E为PA中点，故EDPA.PAABA，DE平面PAB.图71116(本小题满分13分)(2012湛江质检)如图711所示，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CACBCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；【解】(1)证明连结OC
10、.BODO，ABAD，AOBD.BODO，BCCD，COBD.在AOC中，由已知可得AO1，CO.又AC2，AO2CO2AC2.AOC90，即AOOC.又AOBD，BDOCO，AO平面BCD.(2)以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,0,0)，C(0，0)，A(0,0,1)，E(，0)，(1,0,1)，(1，0)cos，.异面直线AB与CD所成角的余弦值为.图71217(本小题满分13分)(2011课标全国卷)如图712，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的
11、余弦值【解】(1)证明因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.从而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD，故PABD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.图71318(本小题满分14分)(2012佛山模拟)如图713，PA平面A
12、BCD，ABCD是矩形，PAAB1，AD，点F是PB的中点，点E在边BC上移动(1)求三棱锥EPAD的体积；(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF.【解】(1)VEPADVPADE，又PA1，SADEADAB，VEPABPASADE1.(2)当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，EFPC，又EF平面PAC，PC平面PAC，EF平面PAC.(3)证明PA平面ABCD，BE平面ABCD，BEPA，又BEAB，ABPAA，BE平面PAB.又AF平面PAB，AFBE.又PAAB1，点F是PB的中点，PBAF，又PBBEB，AF平面PBE.PE平面PBE，AFPE.图71419(本小题满分14分)(2011江西高考)如图714，在ABC中，B，ABBC2，P为AB边上一动点，PDBC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD.(1)当棱锥APBCD的体积最大时，求PA的长(2)若点P为AB的中点，E为AC的中点，求证：ABDE.【解】(1)令PAx(0x2)，则APPDx，BP2x.因为APPD，且平面APD平面PBCD，故AP平面PBCD.VAPBCDSh
