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1、阶段知能检测（六）第卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若a2b2，则下列不等式成立的是()Aab B.C|a|b| Da3b3【解析】a2b2，即|a|b|.【答案】C2如果abc，且有abc0，则()Aabac BacbcCa|b|c|b| Da2b2c2【解析】abc，abc0，a0，c0，abac.【答案】A3(2011浙江高考)若实数x，y满足不等式组则3x4y的最小值是()A13 B15 C20 D28【解析】作出可行域，如图所示，两条直线的交点为A(3,1)，作直线3x4y0，并将它向右上平移，当过点A(3,
2、1)时，3x4y取得最小值，且最小值为334113.【答案】A4设n为正整数，f(n)1，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出一般结论()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不对【解析】f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，猜想：f(2n).【答案】C5已知不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A4a4 B4a4Ca4，或a4 Da4，或a4【解析】由题意知a2160，解得a4或a4.【答案】D6已知1(x0，y0)，则xy的最小值为()A12 B14 C16 D18【解析】xy(xy)()
3、1010218，当且仅当时取等号【答案】D7若不等式f(x)ax2xc0的解集为x|2x1，则函数yf(x)的图象为()【解析】由题意知，方程ax2xc0的两根为x12，x21，则有.f(x)x2x2，f(x)x2x2，令f(x)0得x2或x1，选B.【答案】B8(2011广东高考)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z的最大值为()A4 B3 C4 D3【解析】由线性约束条件画出可行域如图所示，目标函数zxy，将其化为yxz，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)的坐标代入zxy，得z的最大值为4.【
4、答案】C第卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9若点P(x，y)在直线x3y20上，则3x27y的最小值是_【解析】由题意知，x3y2，3x27y226，当且仅当3x27y，即x1，y时等号成立【答案】610若实数x，y满足则目标函数z的最大值是_【解析】线性约束条件对应的可行域为ABC(如图)而z为点(x，y)与(1,0)连线的斜率由图形知，zmax2.【答案】211给出下列命题：命题1：点(1,1)是直线yx与双曲线y的一个交点；命题2：点(2,4)是直线y2x与双曲线y的一个交点；命题3：点(3,9)是直线y3x与双曲线y的一个交点；请观察上面命题，猜想出命题n(n是正
5、整数)为_【解析】观察所给命题知，命题n中交点坐标为(n，n2)，直线方程为ynx，双曲线方程为y，故命题n是“点(n，n2)是直线ynx与双曲线y的一个交点”【答案】点(n，n2)是直线ynx与双曲线y的一个交点12已知等差数列an中，有，则在等比数列bn中，会有类似的结论_【解析】由等比数列的性质b1b30b2b29b11b20，.【答案】13若loga(a21)loga(2a)0，则a的取值范围是_【解析】a211且loga(a21)0，0a1，由loga(a21)loga(2a)得a212a，恒成立，由loga(2a)0得2a1，a.综上知a1.【答案】(，1)14已知正项等比数列an
6、满足：a7a62a5，若存在两项am，an使得4a1，则的最小值为_【解析】设正项等比数列an的公比为q，且q0.由a7a62a5，得q2q20，解得q2.由4a1，得2mn224，即mn6.故(mn)()()，当且仅当n2m时等号成立【答案】三、解答题(本大题共6小题，满分80分解答时需写出文字说明、证明过程和演算步骤)15(本小题满分12分)已知a0，b0，求证：ab.【证明】(ab)(a)(b)(ab)(ab)()(ab)2(ab)，a0，b0，0，ab0，(ab)20，(ab)2(ab)0，即(ab)0，ab.16(本小题满分13分)已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴
7、有两个不同的交点，若f(c)0，且0xc时，f(x)0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)证明：c.【证明】(1)f(x)图象与x轴有两个不同的交点，f(x)0有两个不相等的实根x1，x2.f(c)0，x1c是f(x)0的一个根又x1x2，x2(0)是f(x)0的一个根(2)假设c，又0，由0xc时，f(x)0，知f()0，这与f()0矛盾，c.又c.c.17(本小题满分13分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A(件)产品B(件)研制成本与搭载
8、费用之和(万元/件)2030计划最大资金额300万元产品重量(千克/件)105最大搭载重量110千克预计收益(万元/件)8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【解】设搭载产品A x件，产品B y件，预计总收益z80x60y.则作出可行域，如图作出直线l0：4x3y0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，由解得即M(9,4)所以zmax809604960(万元)即搭载产品A 9件，产品B 4件，可使得总预计收益最大，为960万元18(本小题满分14分)祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾
9、农民创业园，台湾农民在那里申办了个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元设f(n)表示前n年的纯利润(f(n)前n年的总收入前n年的总支出投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案；年平均利润最大时以48万美元出售该厂；纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂问哪种方案更合算？【解】由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n)，则f(n)50n12n4722n240
10、n72.(1)获取纯利润就是要求f(n)0，即2n240n720，解得2n18.又nN，故从第三年开始获利(2)年平均利润402(n)16.当且仅当n6时取等号故此方案共获利61648144(万美元)，此时n6.f(n)2(n10)2128，当n10时，f(n)max128故第种方案共获利12816144(万美元)故比较两种方案，获利都是144万美元但第种方案只需6年，而第种方案需10年，故选择第种方案更合算19(本小题满分14分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣
11、(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值【解】(1)f(1)1，f(2)5，f(3)13，f(4)25，f(5)254441.(2)f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律得出f(n1)f(n)4n.f(n)f(n1)4(n1)，f(n1)f(n2)4(n2)，f(n2)f(n3)4(n3)，f(2)f(1)41，f(n)f(1)4(n1)(n2)2
12、12(n1)n，f(n)2n22n1.(3)当n2时，()，1(1)1(1).20(本小题满分14分)数列an的前n项和为Sn，已知a1，Snn2ann(n1)(nN*)(1)写出Sn与Sn1(n2)的递推关系式；(2)求S1，S2，S3，猜想Sn的表达式，并证明之【解】(1)当n2时，anSnSn1，Snn2(SnSn1)n(n1)，SnSn1.(2)已知S1a1且SnSn1，S2，S3.由S1，S2，S3猜想Sn.下面利用数学归纳法证明当n1时，由条件S1a1，适合Sn，n1时，猜想成立假设当nk时，猜想成立，即Sk.当nk1时，Sk1Sk.故当nk1时，Sn成立根据和知，对nN*，Sn成立
