(04)第4章 抽样与参数估计

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1、数据分析 (方法与案例),作者 贾俊平,统计学基础,Fundamental Statistics,第 4 章 抽样与参数估计,4.1 抽样与抽样分布 4.2 参数估计的基本方法 4.3 总体均值的区间估计 4.4 总体比例的的区间估计 4.5 样本容量的确定,parameter estimation,2011年,学习目标,抽样方法与抽样分布 估计量与估计值的概念 点估计与区间估计的区别 总体均值的区间估计方法 总体比例的区间估计方法 样本容量的确定方法,2011年,统计应用 一次失败的民意调查,在1936年的美国总统选举前，一份名为Literary Digest 杂志进行了一次民意调查。调查的

2、焦点是谁将成为下一届总统是挑战者，堪萨斯州州长Alf Landon，还是现任总统 Franklin Delano Roosevelt 为了解选民意向，民意调查专家们根据电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了简单的调查表(电话和汽车在1936年并不像现在那样普及，但是这些名单比较容易得到)。尽管发出的调查表大约有一千万张，但收回的比例并不高。在收回的调查表中， Alf Landon非常受欢迎。于是该杂志预测 Landon 将赢得选举。但事实上是Franklin Roosevelt赢得了这次选举 调查失败的主要原因是抽样框出现了问题。在经济大萧条时期由于电话和汽车并不普及，只是富裕阶层才会拥有，

3、调查有电话和汽车的人们，并不能够反映全体选民的观点,2011年,参数估计在统计方法中的地位,4.1 抽样与抽样分布 4.1.1 概率抽样方法 4.1.2 抽样分布,第 4 章 抽样与参数估计,4.1.1 概率抽样方法,4.1 抽样与抽样分布,2011年,概率抽样 (probability sampling),也称随机抽样 特点 按一定的概率以随机原则抽取样本 抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中 每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的 当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率,2011年,简单随机抽样 (simple random sampling),从总

4、体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的 最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础 特点 简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本 用样本统计量对目标量进行估计比较方便 局限性 当N很大时，不易构造抽样框 抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难 没有利用其它辅助信息以提高估计的效率,2011年,分层抽样 (stratified sampling),将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本 优点 保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度 组织实施调查方便 既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估

5、计,2011年,系统抽样 (systematic sampling),将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其它样本单位 先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k等单位 优点：操作简便，可提高估计的精度 缺点：对估计量方差的估计比较困难,2011年,整群抽样 (cluster sampling),将总体中若干个单位合并为组(群),抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查 特点 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施 缺点

6、是估计的精度较差,4.1.2 抽样分布,4.1 抽样与抽样分布,2011年,在重复选取容量为n的样本时，由每一个样本算出的该统计量数值的相对频数分布或概率分布 是一种理论分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布 (sampling distribution),2011年,容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布 一种理论概率分布 进行推断总体总体均值的理论基础,样本均值的抽样分布,2011年,样本均值的抽样分布 (例题分析),【例】设一个总体

7、，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,2011年,样本均值的抽样分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,2011年,样本均值的抽样分布 (例题分析), 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,2011年,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), = 2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值分布,2011年,样本均值的抽样分布 与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量

8、为n的样本的均值X也服从正态分布，X 的数学期望为，方差为2/n。即XN(,2/n),2011年,中心极限定理 (central limit theorem),中心极限定理：设从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,2011年,中心极限定理 (central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,2011年,抽样分布与总体分布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,样本均值 正态分布,样本均值 正态分布,样本均值 非正态分布,2011年,样本均值的数学期望 样本均值的方

9、差 重复抽样 不重复抽样,样本均值的抽样分布 (数学期望与方差),2011年,总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比 总体比例可表示为 样本比例可表示为,样本比例的抽样分布 (比例proportion),2011年,容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布 当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似 一种理论概率分布 推断总体总体比例的理论基础,样本比例的抽样分布,2011年,样本比例的数学期望 样本比例的方差 重复抽样 不重复抽样,样本比例的抽样分布 (数学期望与方差),4.2 参数估计的基本原理

10、 4.2.1 估计量与估计值 4.2.2 点估计与区间估计,第 4 章 抽样与参数估计,4.2.1 估计量与估计值,4.2 参数估计的基本原理,2011年,参数估计(parameter estimation)就是用样本统计量去估计总体的参数 估计量：用于估计总体参数的统计量的名称 如样本均值，样本比例，样本方差等 例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量 参数用 表示，估计量用 表示 估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值 如果样本均值 x =80，则80就是 的估计值,估计量与估计值 (estimator & estimated value),4.2.2 点估计与区间估计,4.2 参数

11、估计的基本原理,2011年,点估计 (point estimate),用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计 无法给出估计值接近总体参数程度的信息 由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值 一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量,2011年,区间估计 (interval estimate),在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到 根据样本统计量的抽样分布能够对样本

12、统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量 比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%,2011年,区间估计的图示,x,2011年,将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例，也称置信度 表示为 (1 - 为是总体参数未在区间内的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相应的 为0.01，0.05，0.10,置信水平 (confidence level),2011年,由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区

13、间包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。同样，其他置信水平的区间也可以用类似的方式进行表述,置信区间的表述 (confidence interval),2011年,总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有的区间都包含总体参数 实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%)下的置信区间。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个,置信区间的表述

14、(confidence interval),2011年,当抽取了一个具体的样本，用该样本所构造的区间是一个特定的常数区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值，因为它可能是包含总体均值的区间中的一个，也可能是未包含总体均值的那一个 一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题 置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取的这个样本所构建的区间而言的,置信区间的表述 (confidence interval),2011年,置信区间的表述 (95%的置信区间),从均值为185的总体中

15、抽出n=10的20个样本构造出的20个置信区间, 我没有抓住参数！,点估计值,2011年,使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能性包含参数 但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义 比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很有把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过窄)的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上去很准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量，而现实中样本量总是有限的 区间估计总是要给结论留点儿余地,置信区间的表述 (confidence interval),2

16、011年,置信区间与置信水平的关系,4.3 总体均值的区间估计 4.3.1 正态总体、方差已知 或非正态总体、大样本 4.2.2 正态总体、方差未知、小样本,第 4 章 抽样与参数估计,4.3.1 正态总体、方差已知 或非正态总体、大样本,4.3 总体均值的区间估计,2011年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差已知或非正态总体大样本),1. 假定条件 总体服从正态分布,且方差() 已知 如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30) 使用正态分布统计量 z,总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为,2011年,总体均值的区间估计 (正态总体、方差已知或非正态总体大样本),【例4.2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下