《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_2 第1课时 空间向量与平行关系学案 新人教a版选修2-1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3_2 第1课时 空间向量与平行关系学案 新人教a版选修2-1(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、经自查我局不存在应列未列单位账户、账簿的各类财政性资金,不存在套取财政性资金设立“小金库”或隐瞒、转移、私分国有资产和财政性资金等问题。第1课时空间向量与平行关系1.掌握直线的方向向量,平面的法向量的概念及求法.(重点)2.熟练掌握用方向向量,法向量证明线线、线面、面面间的平行关系.(重点、难点)基础初探教材整理1直线的方向向量与平面的法向量阅读教材P102P103“第2自然段”内容,完成下列问题.1.直线的方向向量的定义直线的方向向量是指和这条直线_的非零向量,一条直线的方向向量有_个.【答案】平行或共线无数2.平面的法向量的定义直线l,取直线l的_a,则a叫做平面的法向量.【答案】方向向量
2、若A(1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为()A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)【解析】(2,4,6)2(1,2,3).【答案】A教材整理2空间中平行关系的向量表示阅读教材P102P103内容,完成下列问题.线线平行设两条不重合的直线l,m的方向向量分别为a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2),则lm_线面平行设l的方向向量为a(a1,b1,c1),的法向量为u(a2,b2,c2),则l_面面平行设,的法向量分别为u(a1,b1,c1),v(a2,b2,c2),则_【答案】ab(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)
3、au0a1a2b1b2c1c20uv(a1,b1,c1)k(a2,b2,c2)若直线l的方向向量a(2,2,1),平面的法向量(6,8,4),则直线l与平面的位置关系是_.【解析】a121640,a,l或l.【答案】l或l小组合作型求平面的法向量已知ABCD是直角梯形,ABC90,SA平面ABCD,SAABBC1,AD,试建立适当的坐标系.图321(1)求平面ABCD的一个法向量;(2)求平面SAB的一个法向量;(3)求平面SCD的一个法向量.【精彩点拨】(1)根据图形特点,如何建立坐标系更方便?(2)怎样求平面的法向量?题中所要求的三个平面的法向量在求解时方法是否相同?【自主解答】以点A为原
4、点,AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D,S(0,0,1).(1)SA平面ABCD,(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.(2)ADAB,ADSA,AD平面SAB,是平面SAB的一个法向量.(3)在平面SCD中,(1,1,1).设平面SCD的法向量是n(x,y,z),则n,n,所以得方程组令y1,得x2,z1,n(2,1,1).1.若一个几何体中存在线面垂直关系,则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量.2.一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量,步骤如下:(1)设出平面的法向量为n(x,
5、y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a(a1,b1,c1),b(a2,b2,c2).(3)根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组(4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.3.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组有无数多个解,只需给x,y,z中的一个变量赋于一个值,即可确定平面的一个法向量;赋的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量.再练一题1.正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点,在如图322所示的空间直角坐标系中,求: 【导学号:37792126】图322(1)平面BDD1B1的一个法向量;(2)平面BDEF的一个法向量
6、.【解】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,0,2).(1)连接AC,因为AC平面BDD1B1,所以(2,2,0)为平面BDD1B1的一个法向量.(2)(2,2,0),(1,0,2).设平面BDEF的一个法向量为n(x,y,z).令x2,得y2,z1.n(2,2,1)即为平面BDEF的一个法向量.利用空间向量证明线线平行如图323所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.图323【精彩点拨】两直线的方向向量满足什么条件能说明它们平行?【
7、自主解答】以点D为坐标原点,分别以,为正交基底建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E,C1(0,1,1),F,又FAE,FEC1,AEFC1,EC1AF,四边形AEC1F是平行四边形.1.两直线的方向向量共线(垂直)时,两直线平行(垂直);否则两直线相交或异面.2.直线的方向向量与平面的法向量共线时,直线和平面垂直;直线的方向向量与平面的法向量垂直时,直线在平面内或线面平行;否则直线与平面相交但不垂直.3.两个平面的法向量共线(垂直)时,两平面平行(垂直);否则两平面相交但不垂直.再练一题2.长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的
8、点,且D1E2EB1,BF2FA1.求证:EFAC1. 【导学号:37792127】【证明】如图所示,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设DAa,DCb,DD1c,则得下列各点的坐标:A(a,0,0),C1(0,b,c),E,F.,(a,b,c),.又FE与AC1不共线,直线EFAC1.探究共研型利用空间向量证明线面、面面平行探究利用待定系数法求平面法向量的解题步骤是什么?【提示】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1平面ADE;(2)平面ADE平面B1C1F.【精彩点拨】利用向量证明平行问题,可
9、以先建立空间直角坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,然后根据向量之间的关系证明平行问题.【自主解答】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz,则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以(0,2,1),(2,0,0),(0,2,1).(1)设n1(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1,n1,即得令z12,则y11,所以n1(0,1,2).因为n1220,所以n1.又因为FC1平面ADE,所以FC1平面ADE.(2)因为(2,0,0),设n2(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量.
10、由n2,n2,得得令z22,得y21,所以n2(0,1,2),因为n1n2,所以平面ADE平面B1C1F.1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法:方法一:证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基底表示.方法二:证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证.方法三:先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明方向向量与平面的法向量垂直.2.利用空间向量证明面面平行,求出两平面的法向量,若两法向量是共线向量,则可判定两平面平行.再练一题3.在如图324所示的多面体中,EF平面AEB,AEEB,ADEF,EFBC,BC2AD4,
11、EF3,AEBE2,G是BC的中点,求证:AB平面DEG.图324【证明】EF平面AEB,AE平面AEB,BE平面AEB,EFAE,EFBE.又AEEB,EB,EF,EA两两垂直.以点E为坐标原点,EB,EF,EA分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0),C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2),G(2,2,0),(0,2,2),(2,2,0),(2,0,2).设平面DEG的法向量为n(x,y,z),则即令y1,得z1,x1,则n(1,1,1),n2020,即n.AB平面DEG,AB平面DEG.1.给定下列命题:若n1,n2分
12、别是平面,的法向量,则n1n2;若n1,n2分别是平面,的法向量,则n1n20;若n是平面的法向量,且向量a,则an0;若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.其中正确命题的个数是()A.1 B.2C.3D.4【解析】正确,中由,得n1n2.【答案】C2.已知向量a(2,4,5),b(3,x,y),a与b分别是直线l1,l2的方向向量,若l1l2,则()A.x6,y15B.x3,yC.x3,y15D.x6,y【解析】l1l2,ab,存在R,使ab,则有23,4x,5y,x6,y.【答案】D3.已知直线l的方向向量为(2,m,1),平面的法向量为,且l,则m_.【解析】l,l的方向向量
13、与的法向量垂直.(2,m,1)2m20.解得m8.【答案】84.如图325,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,OA1,OD2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形.求证:直线BCEF. 【导学号:37792128】图325【证明】过点F作FQAD,交AD于点Q,连接QE,由平面ABED平面ACFD,知FQ平面ABED,以Q为坐标原点,为x轴正向,为y轴正向,为z轴正向,建立如图所示的空间直角坐标系.由条件知:E(,0,0),F(0,0, ),B,C.则有,(,0, ).所以2,即得BCEF.经自查我局不存在违规接待、超标准接待和用公款购买赠送礼品、有价证券等问题;不存在借各种名义变相安排公务接待,或内部接待公私不分,违规公款吃喝、公款消费、