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1、知识就是力量本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考第七章 直线和圆的方程网络体系总览直线和圆直线圆倾斜角和斜率 直线方程点 斜 式两 点 式一 般 式两条直线的位置关系重 合平 行相 交 垂 直交 点夹 角点 到 直线 距 离公 式用 二 元 一 次 不 等 式表 示 平 面 区 域 简 单 的 线性 规 划圆的方程 标 准 方 程一 般 方 程参 数 方 程圆的性质 点 与 圆 的 位 置 关 系直 线 与 圆 的 位 置 关 系圆 与 圆 的 位 置 关 系简单应用考点目标定位（1）理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出
2、直线方程.（2）掌握两条直线平行与垂直的条件、两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的关系.（3）了解二元一次不等式表示平面区域.（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用.（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法.（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.复习方略指南1.本章在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程.基本概念重点考查：（1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题；（2）直线的平行和垂直的条件；（3）与距离有关的问题等.此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现，每年必考.中心对称与
3、轴对称问题虽然在考试大纲中没有提及，但也是高考的重点，复习时也应很好地掌握.2.直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题的难度较大，一般以解答题形式出现（此类问题下一章重点复习）.3.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力.在复习本章时要注意如下几点：1.要能分辨线段的有向与无向概念上的混淆，有向线段的数量与有向线段长度的混淆，能否分清这两点是学好有向线段的关键2.在解答有关直线的问题时，要注意（1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；（2）在利用直线的截距式解题时，要
4、注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；（3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验知识就是力量斜率不存在的情况，防止丢解；（4）要灵活运用定比分点公式、中点坐标公式，在解决有关分割问题、对称问题时可以简化运算；（5）掌握对称问题的四种基本类型的解法；（6）在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法7.1 直线的方程知识梳理1.直线的倾斜角、斜率及直线的方向向量（1）直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜
5、角.当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0.可见，直线倾斜角的取值范围是 0 180.（2）直线的斜率倾斜角 不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用 k 表示，即 k=tan （ 90）.倾 斜 角 是 90的 直 线 没 有 斜 率 ； 倾 斜 角 不 是 90的 直 线 都 有 斜 率 ， 其 取 值 范 围 是（ ， + ） .（3）直线的方向向量设 F1（x 1，y 1） 、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量 =（x 2x 1，y 2y 1）1F称为直线的方向向量.向量 =（1， ）=（1，k）也是该直线的方向向量，122F2xyk
6、 是直线的斜率 .（4）求直线斜率的方法定义法：已知直线的倾斜角为 ，且 90，则斜率 k=tan .公式法：已知直线过两点 P1（x 1，y 1） 、P 2（x 2，y 2） ，且 x1x 2，则斜率 k= .12xy方向向量法：若 a=（m，n）为直线的方向向量，则直线的斜率 k= .mn平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率.斜率的图象如下图. kaO 2对于直线上任意两点 P1（x 1，y 1） 、P 2（x 2，y 2） ，当 x1=x2 时，直线斜率 k 不存在，倾斜角 =90；当 x1x 2 时，直线斜率存在，是一实数，并且 k0 时， =arctank
7、，k0时， =+arctank .知识就是力量2.直线方程的五种形式（1）斜截式：y=kx+b.（2）点斜式：yy 0=k（xx 0）.（3）两点式： = .12y12（4）截距式： + =1.axb（5）一般式：Ax+ By+C=0.点击双基1.直线 xtan +y=0 的倾斜角是7A. B. C. D.7576解析：k=tan =tan（ ）=tan 且 0， ）.776答案：D2.过两点（1，1）和（3，9）的直线在 x 轴上的截距是A. B. C. D.223252解析：求出过（1，1） 、 （3，9）两点的直线方程，令 y=0 即得.答案：A3.直线 xcos y20 的倾斜角范围是
8、A. ， ）（ ， 665B.0， ，）C.0， 65D. ， 解析：设直线的倾斜角为 ，则 tan = cos .又1 cos 1，3 tan . 0， ，）.65答案：B4.直线 y=1 与直线 y= x+3 的夹角为_.3解法一：l 1：y=1 与 l2：y = x+3 的斜率分别为 k1=0，k 2= .由两直线的夹角公式得 3知识就是力量tan = = ，所以两直线的夹角为 60.21k3解法二：l 1 与 l2 表示的图象为（如下图所示）y=1 与 x 轴平行，y= x+3 与 x 轴倾斜3角为 60，所以 y=1 与 y= x+3 的夹角为 60.3O xlly 2113答案：6
9、05.下列四个命题：经过定点 P0（x 0，y 0）的直线都可以用方程 yy 0=k（xx 0）表示； 经 过 任 意 两 个 不 同 的 点 P1（ x1， y1） 、 P2（ x2， y2） 的 直 线 都 可 以 用 方 程 （ x2 x1） （ x x1）=（y 2y 1） （y y1）表示；不经过原点的直线都可以用方程 + =1 表示；经过定点 abA（0， b）的直线都可以用方程 y=kx+b 表示.其中真命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3解析：对命题，方程不能表示倾斜角是 90的直线，对命题，当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线.
10、只有正确.答案：B典例剖析【例 1】 已知ABC 的三个顶点是 A（3，4） 、B（0，3） 、C（6，0） ，求它的三条边所在的直线方程.剖析：一条直线的方程可写成点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式等多种形式.使用时，应根据题目所给的条件恰当选择某种形式，使得解法简便.由顶点 B 与 C 的坐标可知点 B 在 y 轴上，点 C 在 x 轴上，于是 BC 边所在的直线方程用截距式表示，AB 所在的直线方程用斜截式的形式表示，AC 所在的直线方程利用两点式或点斜式表示均可，最后为统一形式，均化为直线方程的一般式.解：如下图，因ABC 的顶点 B 与 C 的坐标分别为（0，3）和（6，0） ，
11、故 B 点在y 轴上，C 点在 x 轴上，即直线 BC 在 x 轴上的截距为6，在 y 轴上的截距为 3，利用截距式，直线 BC 的方程为 + =1，63yx y O (0,3) (3,-4) (-6,0) A B C化为一般式为 x2y +6=0.由于 B 点的坐标为（0，3） ，故直线 AB 在 y 轴上的截距为 3，利用斜截式，得直线 AB的方程为 y=kx+3.又由顶点 A（3，4）在其上，所以4=3k+3.故 k= .7知识就是力量于是直线 AB 的方程为 y= x+3，化为一般式为 7x+3y9=0.37由 A（3，4） 、C（6，0） ，得直线 AC 的斜率 kAC= = .)(
12、49利用点斜式得直线 AC 的方程为y0= （x+6） ，94化为一般式为 4x+9y+24=0.也可用两点式，得直线 AC 的方程为= ，0y)6(3再化简即可.评述：本题考查了求直线方程的基本方法.【例 2】 已知两直线 a1x+b1y+1=0 和 a2x+b2y+1=0 的交点为 P（2，3） ，求过两点Q1（a 1，b 1） 、Q 2（a 2，b 2） （a 1a 2）的直线方程.剖析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：P（2，3）在已知直线上，2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0.2（a 1a 2）+3（b 1b 2）=0，即 = .21ab3所求直线方程为 yb
13、1= （xa 1）.32x+3y（2a 1+3b1）=0，即 2x+3y+1=0.评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.思考讨论 依“两点确定一直线” ，那么你又有新的解法吗？提示： 由2a1+3b1+1=0，2a2+3b2+1=0，知 Q1、Q 2 在直线 2x+3y+1=0 上.【例 3】 一条直线经过点 P（3，2） ，并且分别满足下列条件，求直线方程：（1）倾斜角是直线 x4y +3=0 的倾斜角的 2 倍；（2）与 x、y 轴的正半轴交于 A、B 两点，且AOB 的面积最小（ O 为坐标原点）.剖析：（2）将面积看作截距 a、b 的函数，求函数的最小值即可.解：（1）设所求直线
14、倾斜角为 ，已知直线的倾斜角为 ，则 2 ，且 tan ，tan tan2 ，4158从而方程为 8x15y +6=0. 知识就是力量（2）设直线方程为 1，a0，b0，代入 P（3，2） ，得xy 12 ，得 ab24，a3ba6从而 SAOB ab12，此时 ，k .a3b2a32方程为 2x+3y12=0.评述：此题（2）也可以转化成关于 a 或 b 的一元函数后再求其最小值.深化拓展 若求|PA| PB|及|OA|+|OB|的最小值，又该怎么解呢？提示： 可类似第（2）问求解.闯关训练夯实基础1.直线 x2y+2k =0 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于 1，那么 k 的范围是A.k1B.k1C.1k1 且 k0D.k1 或 k1解析：令 x=0，得 y=k；令 y=0，得 x=2k .三角形面积 S= xy =k 2.1又 S1，即 k21，1k1.又k=0 时不合题意，故选 C.答案：C2.（ 2004 年 湖 南 ， 2） 设 直 线 ax+by+c=0 的 倾 斜 角 为 ， 且 sin +cos =0， 则a、 b 满 足A.a+b=1 B.ab=1 C.a+b=0 D.ab=0解析：0 180，又 sin +cos =0， =135，ab=0.答案：D3.（2004 年春季北京）直线 x y+a=0（a 为实常数）的倾斜角的大小是3_.解析：k=
