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1、均值不等式与不等式的证明均值不等式和不等式的证明一已知不等式的关系，求目标式的取值范围例1：（2010辽宁理14）已知-1x+y4且2x-y0，求函数f(x)=x（2）若x0，求函数f(x)=12+3x的值域 xx2+31变式1.（1）求函数y=x的值域；x+12（2）求函数y=（3）求函数y=x2+3x+12的最小值；x2+5x+42的最小值。II.通过代数变换凑配成使用均值不等式的形式51例1:已知x-1且a0)的最小值。 变式1：求函数y=x+16x2+1变式2：求y=最大值。x2+4III.“1”的变换 例1：已知x0,y0，且变式1：（2011重庆理7）已知a0,b0,a+b=2，则
2、y=变式2：函数y=a1-x19+=1，求x+y的最小值。 xy14+的最小值是 ab(a0,a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0n(m,n0)上，则1+1的最小值为m变式3：abc，证明：变式4：已知x,y,z0,x+y+z=1,求1113+。 a-bb-cc-aa-c149+的最小值。 xyzIV.注意转化思想和方程消元思想在求二元函数最值中的应用 例1：若正数a,b满足ab=a+b+3，则： （1）ab的取值范围是 ； （2）a+b的取值范围是 。变式1：（2010重庆理7）已知x,y0满足x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是 。 V.灵活选择和运用均值不等式的变
3、形形式y2=1，则x+y2的最大值为。 例1：设x0,y0，x+2211变式1：已知a0,b0,a+b=4，求a+b+的最小值。abVI.合理配组，反复应用均值不等式 例1：设ab0，则a+22211+的最小值是 。 abaa-b2211x+y+变式1：若x,y是正数，则的最小值是 2y2x三利用均值不等式证明不等式例1：（1）设a,b,cR,求证：(a+b+c)*11+4。 ab+ca2b2c2+a+b+c。 （2）a,b,cR，求证：bca*（3）已知x,y,zR,且x+y+z=1，求证：x+*y+z3变式1：若a,b,cR*，且a+b+c=1。 求证：变式2：证明：若x,y,zR*，a,
4、b,cR*，则111-1-1-18。 abcb+c2c+a2a+b2x+y+z abc2(xy+yz+zx)四不等式的证明I.比较法（插值法、比值法）例1：已知a,b,m均为正实数，且a b+mb(n)2(an+1+bn+1。)II.利用函数的单调性例1：已知0x1，求证：x-sinx13x。 6变式1：证明：当0xp22xsinxx。pIII.综合法（由因导果）与分析法（由果索因）例1：证明：2-6-7。变式1：设f(x)=+x2(ab)，求证：f(a)-f(b)bc，且a+b+c=0，求证：。aIV.反证法例1：已知a,b,c为不小于1的正数，求证：a(1-c),b(1-a),c(1-b)
5、不可能同时大于1。 4变式1：已知a,bR*，a+b=2，求证：a+b2。33V.放缩法例1：已知正数a,b,c满足a+b+c=1，求证：6a+1+6b+1+6c+1(n+1)例2：求证1*例3：设a,b,c,mR,且满足a=b+c，问m取何值时，以a,b,c为边可构成三角形，mmmn-1(n2,nR)*bcda+2a,b,c,dR*。a+b+cb+c+dc+d+ad+a+b()并判断该三角形的形状。例4：设实数a,b,x,y满足a+b=1,x+y=3，求证：ax+by2222变式1：设x,yR*，x2+y2=1，求证：xy5+。 3412VI.构造法例1：设a,bR,b0，若0a0且x1，mn0，求证：x+例3：证明：当x-1且x0时，有(1+x)1+nxxN*。nm112，求证：b-b。 ba+1abcx+。 mnxx()例4：设a,b,c,mR，求证：a2+b2+b2+c2+a2+c2*2(a+b+c)。本文档来源于第一文库网：https:/
