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1、全省各地交警部门积极会同媒体围绕畅行中国，交警同行主题进行宣传筹备，组织走进直播间、现场连线、随警作战等活动第二章 随机变量及其分布本章诊疗一、离散型随机变量及其分布列1. 精要总结(1)随机变量的定义可用下图表示：随机变量随着试验的结果变化而变化，“随机”地取值的，其对应关系可类比函数的定义域与值域.常见的随机变量的取值可以一一列出，称为离散型随机变量.在随机变量中，还有连续型随机变量，如某工厂生产的圆形零件的直径X，尽管规定的规格是确定的，但在实际操作中得到的结果是不确定的.显然这种随机变量的取值不可能一一列出来.随机变量X的取值是和A中的随机事件一一对应的；随机变量X中的每个取值的概率，
2、分别等于随机事件所发生的概率，解题的关键是建立X与概率值之间的对应，列出分布列.(2)离散型随机变量分布列的性质： . 利用上述性质，可以检查分布列的正误：若所有项的和为1，则这个分布列是正确的；也可以利用这条性质来求概率值：如果一个分布列中，有一个运算繁琐，我们可以先计算除之外其余的概率值，然后用1减去这些概率值即得.(3)求分布列的步骤：首先确定随机变量X的所有可能值xi；求出各个取值下的所有事件的概率值P(X=xi)=pi，常利用古典概型和概率的加法、乘法公式求解； 列出表格，即为分布列.验证分布列中所有概率值的和是否为1.2. 错例辨析例1 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品、2个次品
3、，从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设为取出的次数，求的分布列.错解：每次取1件产品，所以至少需2次，即最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，=4，所以可以取2，3，4，5，6，P(=2)=；P(=3)=；P(=4)=；故的分布列为234P错因分析：上述解题过程出现审题错误，混淆概念“取后放回”与“取后不放回”.“取后放回”被取出的物品还会再取到，盒子中物品的个数保持不变而“取后不放回” 被取出的物品不会再取到，盒子中物品的个数在减少.正解：每次取1件产品，所以至少需2次，即最小为2，有2件次品，当前2次取得的都是次品时，=4，所以可以取2，3，4.
4、P(=2)=；P(=3)=+=；P(=4)=1=.所以的分布列如下：234P二、条件概率、相互独立事件1. 精要总结条件概率是事件在一定附加条件下的概率，这里所说的“附加条件”是指除试验条件之外的附加信息，通常表现为“A、B事件有关联，已知事件A发生了，求事件B的概率”.设A和B为两个事件，在“B已发生的条件下，A发生的”概率P(A|B)=P(AB)/P(B).条件概率的求法：对于古典概型的题目,可采用缩小基本事件空间的方法来计算条件概率.如：甲、乙两车间各生产50件产品，其中分别含有次品3件与5件.现从这100件产品中任取l件，在已知取到甲车间产品的条件下，求取得次品的概率.基本事件空间总数
5、为50,基本事件个数为3，则P=.其他问题直接根据条件概率公式求解.而相互独立事件则是指事件B的发生对事件A是否发生没有影响.这种情况下，事件A、B同时发生的概率计算公式为P(AB)=P(A)P(B)，使用该公式时要注意区分“互斥事件”与“相互独立事件”的概念.求相互独立事件同时发生的概率的步骤：确定各个事件是相互独立且会同时发生先求每个事件发生的概率，套用公式求这些事件同时发生的概率.2.错例辨析例2 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是.假设两人射击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，
6、甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击.问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？错解：第(3)问，乙恰好射击5次后，被中止，则乙前3次都击中，4、5次未击中，所求概率为错因分析：乙恰好射击5次后，被中止射击，则4、5次未击中，但前3次不一定全部击中，可能有1次未击中，也可能有2次未击中.正解：(1)甲射击4次，全部击中的概率为，则至少1次未击中的概率为(2)甲恰好击中目标2次的概率为乙恰好击中目标3次的概率为甲恰好击中2次且乙恰好击中3次的概率为(3)依题意，乙恰好射击5次后，被中止射击，则4、5两次一定未击中，前3次若有1次未击中，则
7、一定是1、2两次中的某一次；前3次若有2次未击中，则一定是1、3两次，但此时第4次也未中，那么射击4次后就被停止，这种情况不可能；前三次都击中也符合题意.所求事件的概率为三、二项分布1. 精要总结独立重复试验必须满足两个特征：每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；各次试验的结果互不影响，即各次试验互相独立.独立重复试验的每次试验只有两个可能的结果：发生与不发生、成功与失败等.独立重复试验的原型是有放回的抽样检验问题.但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验也可以近似地看作此类型.二项分布是一种建立在独立重复试验基础上的分布，是一种常见的离散型随机变量的概率分布.它的应用
8、十分广泛，利用二项分布的模型可以快速的写出随机变量的分布列，从而简化了求随机变量每一个具体值对应概率的过程.利用二项分布解决实际问题的关键在于判断实际问题给出的问题是否为二项分布模型.也就是看：题目的情景是否为n次独立重复试验；随机变量是否为n次独立重复试验中某事件发生的次数.2. 错例辨析例3 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.错解：(1)由已知从10道题中，任选一道，甲答对的概率
9、为,那么选3道题甲至少答对2道相当于三次独立重复试验发生两次或三次.甲合格的概率为.错因分析：上述解法对相互独立事件的概念理解错误,只有当事件A发生与否对事件B的发生与否没有任何影响时,才能说A与B相互独立.而错解中,答对第一题这个事件发生与否，对“答对第二题”这个事件有影响，所以它们之间不独立.正解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，那么对于A：基本事件总数为，而考试合格的可能有：(1)答对2题，共；(2)答对3题，共.，同理P(B)=.(2)由(1)知A与B相互独立，甲、乙两人考试均不合格的概率为P()=甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P=1- 四、离散型随机变量的
10、数学期望与方差1. 精要总结 期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值但不同于相应数值的算术平均数.随机变量X的方差与标准差都反映了随机变量取值相对于EX的稳定与波动、集中与离散的程度.DX越小，稳定性越高，波动越小.一般的随机变量，通过如下公式求解其期望与方差。设离散型随机变量X的分布列为XP则EX ，=.若给出的模型满足如下分布，可直接套公式求解：若X服从两点分布，则EX，；若随机变量X服从二项分布，即，则 np,；若随机变量X服从N，M，n的超几何分布，则=.2. 错例辨析例4 盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个.
11、第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同).记第一次与第二次取得球的标号之和为.(1)求随机变量的分布列；(2)求随机变量的期望.367P0.240.180.24错解：(1)依题意，的取值是3，6，7，它们所对应的概率分别为0.24,0.18,0.24,故随机变量的分布列如下：错因分析：随机变量的取值不正确，当然随之概率之和不等于1，由于两次可能取到同标号的球，所以随机变量的取值应为2，3，4，6，7，10.正解：(1)由题意可得，随机变量的取值是2，3，4，6，7，10.且P(=2)=0.30.3=0.09,P(=3)=C120.30.4=0.24,P
12、(=4)=0.40.4=0.16,P(=6)=20.30.3=0.18,P(=7)20.40.3=0.24,P(=10)=0.30.3=0.09.故随机变量的分布列如下：2345710P0.090.240.160.180.240.09(2)随机变量的数学期望E=20.09+30.24+40.16+60.18+70.24+100.09=5.2. 例5 某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列如下：12312P设每售出一台电冰箱，电器商获利300元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100元，问电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大？错解1
13、：由题意，的期望E=(1+2+12)=，由期望的意义知：电器商月初购进6台或7台电冰箱才能使自己平均收益最大.错解2：设月初购进x台电冰箱，则获利也是随机变量，取值为300-(x-1)100，600-(x-2)100,，300x，它们的概率均为，获利的期望为1x12.x=12时期望最大，月初购进12台电冰箱.错因分析：解答1错把期望当作与实际等同，E=表示平均能卖台，不是一定能卖台，平均卖的情况并不一定是盈利最多；解答2中“获利的取值为300x”时，概率也为是错误的，实际上获利的取值为300x时，概率应为.正解：设月初进x台，则获利是一个随机变量，300-(x-1)100600-(x-2)10
14、0300xP其取值为300-(x-1)100，600-(x-2)100，300x，共x个值，它的分布列如下：E= (400-100x+800-100x+300x-400)+300x=(x2-19x).1x12.当x=9或x=10时，E最大，即月平均收益最大.月初购进9台或10台电冰箱才能使月平均收益最大.五、正态分布1. 精要总结正态曲线的特征：位于轴上方，与轴不相交；曲线是先增后减，以直线为对称轴； 曲线与轴之间的面积为1；越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”.正态分布的取值：，.在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取之间的值，并简称之为3原则.2. 错例辨析例6 设随机变量服从正态分布N(0，1)，记(x)=P(x),则下列结论不正确的是 ( )A.(0) B.(x)=1-(-x)C.P(|0) D.P(|a)=1-(a)(a0)错解：由于(a)可能小于，即2(a)-1可能小于0，选C.错因分析：对正态分布不熟悉导致错误，实际上(a)(0)=.正解：由正态函数的图像知；(0)=，(x)=1-(-x),P(|a)=P(-aa)=P(a)
