《2005年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2005年全国高中数学联合竞赛四川初赛试题及答案（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2005 年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）9 月 17 日上午 8：3010：30一、选择题（本题满分 30 分，每小题 5 分）本题共有 6 小题，每题均给出（A ） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四个结论，其中有且只有一个是正确。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得 5 分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分。1已知正项非常值数列 ， 满足： 成等差数列， 成等比数列。令nab1,nab1,nnba，则下列关于数列 的说法正确的是nbcc（A） 为等差数列 （B） 为等比数列 nc（C） 的每一项为奇数 （D） 的每一项为偶数n
2、c解：由题可知， ， ，nnab12121nb11nnba ，即 ， 为等差数列，故选 A1n c2在 中， 分别是角 所对边的边长，若 ，则ABCc,CBA, 0sinco2sioBA的值是cba（A）1（B） （C） （D）223解：由 得，0sincosinoBA 0)4sin(2)4sin(BA即 ，由正弦函数的有界性及 为三角形的内角可知，1)4i()si(,且 ，从而 ，nsn42C 2iBAcba3函数 的最小值是)3(9)(xxxf （A）1（B）2（C） （D） 2解： )3()()(2)( 2 xxxxf令 ，则 ，最小值为 ，故选 D3xt 1tty4双曲线 的左焦点为
3、，顶点为 ， 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线12ba1F21,AP段 为直径的两圆一定21,APF（A）相交（B）内切（C）外切（D）相离解：设双曲线的另一个焦点为 ，线段 的中点为 ，在 中， 为 的中点， 为2F1PCPF21C1O的中点，从而 ，从而以线段 为直径的两圆一定21 |)|(|12AO21,A内切。5设 ，若“方程 满足 ，且方程至少有一根 ”，就称0,A02cbxcb, a该方程为“漂亮方程” 。则“漂亮方程”的个数为（A）8（B）10（C）12（D）14解：，由题可知，方程的两根均为整数且两根一正一负，当有一根为 时，有 9 个满足题意的“漂1亮方程” ，当一根为
4、时，有 3个满足题意的“漂亮方程” 。共有 12 个，故选 C。26设 是 的任一排列， 是 到 的映射，且满足 ，记数4321,a,f4,321, if)(表 。若数表 的对应位置上至少有一个不同，就说 是两)( )(4321fff NM, NM,张不同的数表。则满足条件的不同的数表的张数为（A）144（B）192（C）216（D）576解：对于 的一个排列，可以 9 个映射满足 ，而 共有 个排4321,aif)(4321,a2A列，所以满足条件的数表共有 张，故选 C。216二、填空题（本题满分 30 分，每小题 5 分）本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。7函数 的最大值与最
5、小值之差等于 。|cosin|2si)(xexf 21e解： ，从而当 时取最大值)|4sin(|2|cosin| ii xxef 4x21e当 时取最小值 0，从而最大值与最小值之差等于4x 21e8设 ，则满足不等式 的 的取值范围是 。20xxcos)6sin(34x解：由 ，可得 ，解得xxco)6sin(03349如图，一个立方体，它的每个角都截去一个三棱锥，变成一个新的立体图形。那么在新图形顶点之间的连线中，位于原立方体内部的有 120 条。解：据题意新的立体图形中共有 24 个顶点，每两点连一条线，共，其中所有的棱都在原立方体的表面，有 36 条2763124C原立方体的每个面上
6、有 8 个点，除去棱以外，还可以连 条，6 个2085面共 120 条都在原立方体的表面，除此之外的直线都在原立方体的内部。10设 ，其中 满足 ，则 的最小值为 。)(22yxxSyx, 1logl22yxS24解：由 ，得1logl2 2又 )()()()()( 2 yxxyyxyx 45155)( 222 11设 内接于半径为 的 ，且 ， 为底边ABCROACBDBC 上的高，则 的最大值为 。D解：如图，设 ，则OsinA，cos21co2BCA )si(5sinRR其中 tan所以 的最大值为D12设 为整数，集合 中的数由小到大组成数列 ：tsr, 0,2|rstatsr na，
7、则 131 。143,736解： 为整数且 ， 最小取 2，此时符合条件的数有tsr, rst0 12C， 可在 中取，符合条件有的数有2, 3C同理， 时，符合条件有的数有4r 624时，符合条件有的数有5105时，符合条件有的数有6r26C时，符合条件有的数有77因此， 是 中的最小值，即36ar 13271036ajOCDAB三、解答题（本题满分 80 分，每小题 20 分）13如图， 是 的两条高， 和 分CEBD,AFG别是 和 的中点， 是 的外心。求证：OBC 。AOFG证明：如图，连结 和 ，90 ，EBCD21又 F延长 交 于 ，连结OAHOB 90 四点共圆。DECB,，
8、即A21AOBEH21又 OA H90E于是， ，即DEA 。FG14正方形 的两顶点 在抛物线 上， 两点在直线 上，求正方形的BCB,2xyDC, 4xy边长 。d解：设 两点坐标分别为 、 ，显然A, ),(21tA),(2t21t ， ，即BD12t2t一方面， )(1)()()(| 221212 tttd 421tt )2(81t另一方面， ， 2|4| 121ttADd 212)4(td将代入，得 ，即09682405)8(2故 或23d5HOFGEDAB C15设实数 满足条件 ， ，其中 ，ba, 321321xx1321xxab0,321x求 的是最大值。P26解： ，332
9、12131 axxxa3abxx3)()()( 13213222 从而， b 9111622 aaaP当且仅当 ， ， 时等号成立。321xb3即 ， ， 时， 有最大值321xaabP2169316某班有 20 人，参加语文、数学考试各一次，考试结果是：没有 0 分；没有两个同学的语文、数学成绩相同。我们说“同学 A 比 B 的成绩好” ，是指“同学 A 的语文、数学成绩都不低于 B”。证明：存在三个同学 A、B、C，使得同学 A 比同学 B 的成绩好，同学 B 比 C 的成绩好。证明：若同学 A 比 B 的成绩好，记为 。原问题等价于证明：存在三个同学 A、B、C 满足用 表示第 个同学的
10、语文、数学成绩（ ） 。),(ibai 20,1i于是 且等号不能同时成绩。jijiji ba,),(因为语文成绩 （ ）在 1 到 10 的整数值中取值，对这 20 个同学的语文成绩，由抽屉i 20,1原理知，下列情形之一必然出现：情形 1：某个分数值，至少有 3 人取得。即存在某个 ，使得 （其10,2mmakji中 两两不等） 。kji,情形 2：每个分数值，恰好均有 2 人取得，即对任意的 ，存在不同的 ，使得,f ji,。faji同理，对于数学成绩 同样有两种情形：ib情况 ：存在某个 ，使得 （其中 两两不等） 。1 10,2nnbkji kji,情形 ：对任意的 ，存在不同的 ，
11、使得 。2g, gbji下面进行讨论：对情况形 1：若 ，则由条件知 两两不等。不失一般性，不妨设makjikjib,，则 ，即存在三个同学存在三个同学 A、B、C 满足kjib),(),(),(kjibCBA对情况 ：同理可证。1对情形 2：有两个 ，不失一般性设 ，于是得 ，且 ，不失一般1ia1jia),1(jibji性，设 ，则jib),(,jib这时，对于 ，若出现情形 ，则结论成立；若出现情形 ，则必有 2 人得 10 分，不妨设为 ，i lka,易知 中至少有一个不取 1（否则与条件矛盾） ，设为 ，则 。lka, kak1所以，故结论成立。对于情形 ，同理可证。2综上所述，结论成立。
