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1、函数的幂级数展开教案函 数 的 幂 级 数 展 开复 旦 大 学 陈纪修 金路1 教学内容函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。2指导思想（1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然
2、掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质教育的一个不可忽视的环节。3. 教学安排首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f (x ) 在 x 0 的某个邻域O (x 0, r) 中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f (x
3、) 在x 0 的Taylor 级数：f (n ) (x 0)（*） f (x ) =(x -x 0) n , x O (x 0, r ).n ! n =0另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：x n x(1) f (x ) = e= n =0n !x 2x 3x n+ + , x (-, +) 。 =1+x +2! 3! n ! (-1) n 2n +1(2) f (x ) = sin x = xn =0(2n +1) !x 3x 5x 2n +1n=x -+ , x (-, + ) 。 +- +(-1)3! 5! (2n +1)!(-1) n 2n(3) f (x ) = cos x
4、= xn =0(2n ) !2nx 2x 4n x =1-+ , x (-, + ) 。 +- +(-1) 2! 4! (2n )! (-1) n -12n -1(4) f (x ) = arctan x = xn =12n -12n +1x 3x 5n x +- +(-1) =x - + , x -1, 1。 352n +1(-1) n +1n(5) f (x ) = ln (1 + x ) = xn n =1nx 2x 3x 4n -1x +-+ +(-1) =x - + , x (-1, 1。 234n(6) f (x ) =(1+x ) ，0是任意实数。当是正整数m 时，m (m -1
5、) 2x + + mx m -1+ x m ，x (-, +) f (x ) = (1 + x ) m = 1 + mx +2即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。 当不为0和正整数时，x (-1, 1), 当-1, n , (1+x ) = x x (-1, 1,当-10.(-1) (-n +1) 其中 = , (n = 1,2,) 和 n 0=1。 n ! 设函数f (x ) 在 x 0 的某个邻域O (x 0, r) 中任意阶可导，要求它在O (x 0, r) 中的幂级数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法：1
6、通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。1例1 求 f (x ) = 在x =0 的幂级数展开。 23+5x -2x解 利用部分分式得到 1 11+2f (x ) = ，x 71+2x 211-3再利用（6）式（=-1），得到1111n +1f (x ) =n +1-(-2)x n ， x (-, ).227n =03例2 求f (x ) =sin 3x 在x = 的幂级数展开。631313解 f (x ) =s i n x =s i n x -s i n 3x =s i n +(x -) -c o 3s (x -) 4446646331sin(x -) +cos(x -) -
7、cos 3(x -) ， 868646利用（2）式与（3）式，即得到3(-1) n 2n +13(-1) n 2n 2n -1f (x ) =(x -) -(23-1)(x -) , x (-, +). 8n =0(2n +1)! 68n =0(2n )! 6x -1例3 求 f (x ) =ln x , (x 0) 关于变量的幂级数展开。x +1x -11+t, 则x =, (00.2n +12n +1x +1n =1n =12对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。1例4 求f (x ) =2 在x =1 的幂级数展开。x11解 由于g (x ) =(x -1) n ，利用逐项求导，
8、即可得到x 1+(x -1) n =0=f (x ) =-g (x ) =n (x -1)n =1n -1=(n +1)(x -1) n , x (0, 2).n =0例 5 求 f (x )= arcsin x 在x =0 的幂级数展开。1解 利用(6)式 (=-) ，可知当x (-1,1) 时，21-1222 (-x 2) n = (1-x ) = n =0n -x 2123(2n -1)! ! 2nx + x 4+ + x + ，82(2n )! !对等式两边从0到x 积分，利用幂级数的逐项可积性与x d t0-t 2 = arcsin x ，即得到(2n -1)! ! x 2n +1a
9、rcsin x = x + ， x -1, 1。(2n )! ! 2n +1n =1其中关于幂级数在区间端点x = 1的收敛性，可用Raabe 判别法得到。 特别，取x = 1，我们得到关于的一个级数表示：(2n -1)! ! 1 = 1 + 。 2! 2n +1n =0(2n )!f (x )3对形如f (x ) g (x ) ，的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法”。g (x )= 1 +设 f (x ) 的幂级数展开为a n x ，收敛半径为R 1，g(x ) 的幂级数展开为b n x n ,nn =0n =0收敛半径为R 2，则f (x )g(x ) 的幂级数展开就是它们
10、的Cauchy 乘积：f (x )g(x ) = (a n x )(b n x ) =nnn =0n =0cn =0nx n ,其中c n =a bk k =0nn -k,cn =0n。 x n 的收敛半径R min R 1，R 2f (x )的幂级数展开：设 g (x )n当b 0 0时，我们可以通过待定系数法求f (x )= g (x )cn =0nx n ,则(b n x ) (c n x )=nn =0n =0an =0nx n ,分离x 的各次幂的系数，可依次得到a 0, b 0a -b cb 0 c 1 + b 1 c 0 = a 1 c 1 = 110 ，b 0a -b c -b
11、 2c 0b 0 c 2 + b 1 c 1 + b 2 c 0 = a 2 c 2 = 211，b 0一直继续下去，可求得所有的c n 。 例6 求e x sin x 的幂级数展开( 到x 5 ) 。x 2x 3x 4x 3x 5x+- ) 解 e sin x = ( 1+x + )(x -2! 3! 4! 3! 5! 115x + ， = x + x 2+x 3-330由于e x 与sin x 的收敛半径都是R =，所以上述幂级数展开对一切x (-, + ) 都成立。例7 求tan x 的幂级数展开( 到x 5 ) 。 解 由于tan x 是奇函数，我们可以令sin xtan x = =
12、c 1 x + c 3 x 3 + c 5 x 5 + ，cos x于是x 2x 4x 3x 535+- ) = x -+- ， (c 1 x + c 3 x + c 5 x + )(1-2! 4! 3! 5!35比较等式两端x , x 与x 的系数，就可得到12c 1 = 1, c 3 = , c 5 =,315因此125tan x = x + x 3 + x + 。3154 “代入法”b 0 c 0 = a 0 c 0 =对于例7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在1= u n = 1 + u + u 2 + 1-u n =0x 2x 4-+ 代入，可得到 中，以u =2! 4!1x 2x 4x 2x 4-+ ) + (-+ ) 2 + = 1
