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1、 第五章 方差分析 第一节 单因素试验的方差分析 第二节 双因素试验的方差分析 本章小结 主要内容 第五章 方差分析 例 5.1.1 设有 m台机器生产同一种产品，记录每台的日产量。可以看到，不但不同机器的日产量可能各不相同，就是同一台机器在不同的生产日中其产量也未必相同。我们关心的是，这种日产量的差异是由于不同机器造成的，还是由于随机波动造成的。这里考虑的因素是不同机器的生产能力。 例 5.1.3 某灯泡厂用 4种不同配料方案制成的灯丝生产了 4批灯炮，在每批灯泡中随机抽取若干只进行寿命试验。我们关心的问题是这 4种灯丝生产的灯泡其使用寿命有无显著差异？这里要分析的因素是配料方案。 第一节
2、单因素试验的方差分析 第五章 方差分析 第一节 单因素试验的方差分析 我们把要考察的指标称为试验指标。如果在一个问题中有几项试验指标，我们将分别对每一项试验指标进行分析。影响试验指标的条件称为因素，一般用大写字母等表示。如果一项试验中只有一个因素在改变我们就称为单因素试验；因素所处的状态称为水平。 第五章 方差分析 第一节 单因素试验的方差分析 例 5.1.4 采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成 萘酚，测定所得产品的熔点如表 5.1.1所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点？ 表 5. 1 .1 不同产地原料萘合成 萘酚的熔点 产地 1 产地 2 产地 3 产地 4 1 2 4
3、. 0 1 2 3. 0 1 2 3. 5 1 2 3. 0 1 2 3. 0 1 2 3. 0 1 2 1. 5 1 2 1. 0 1 2 3. 0 1 2 3. 5 1 2 1. 0 此例要考察的试验指标是 萘酚熔点 , 仅考虑原料产地一个因素 。 这个因素有 4 个水平，在每个水平下，试验重复的次数可以不等，这是单因素试验的例子 。 在例 5. 1. 4 中，我们在因素的每一个水平下进行独立试验，其结果为一随机变量 。 表 5. 1. 1 中的数据可以看成来自四个不同的总体（每个水平对应一个总体）的样本观测值 。 将各个总体的均值依此记为4321 , ，我们要讨论的 问题即检验假设 ：
4、43210 : H:1H4321 , 不全相等 第五章 方差分析 设因素 A有 t个水平，在第 i个水平下进行了 ni次相互独立的试验，结果如下： 试验结果 因素 A 1A2A iA tA试验指标 121111nXXX222122nXXX iniiiXXX21 tntttXXX21 第五章 方差分析 第一节 单因素试验的方差分析 假设在水平iA下，试验指标jiX来自正态总体),( 2 iN，,1;,1 injti ，其中),( i及 2 0 均未知 。 通过引进随机误差,ijiji X 可以把jiX表示成 独立各jijiijiijiNnjtiX),0(,1;,1,2（ 5. 1. 2 ） 第五
5、章 方差分析 方差分析的基本任务就是要检验假设 （ 1） （ 2） 参数 的检验 不全相等:1210HH t 221 , t 第五章 方差分析 方差分析的基本思想： 若被考察的因素对试验结果没有 显著的影响，即所讨论的各正态总体的均值相等，则试验数据的波动完全由随机误差引起；如果各正态总体均值不全相等，则表明试验数据的波动除了随机误差的影响外，还包含被考察因素效应的影响。为此，需要构造一个适当的统计量，来描述数据的波动程度。将这个统计量分解为两部分，一部分是纯随机误差造成的影响，另一部分是除随机误差的影响外来自于因素效应的影响。然后将这两部分进行比较，如果后者明显比前者大，就说明因素的效应是显
6、著的。 第五章 方差分析 方差分析的关键是对全部数据的波动程度进行分解 。 n 个指标数据的总平均 tinjjiiXnX1 11（ 5. 1. 9 ） 总平方和 tinjjiTiXXS1 12)(（ 5. 1. 10 ） 记水平iA下的样本均值为iX , 即 tiXnX injjiii ,1,11 第五章 方差分析 因为 tinjiijiTiXXXXS1 12)()( tinjtinjiiijitinjijii iiXXXXXXXX1 1 1 121 12)()(2)(而 ii njiijitiitinjiijiXnXXXXXXX111 10)()(故 tinjitinjiijiTiiXXXX
7、XXS1 121 122)()()(将TS分解成 T E AS S S（ 5. 1. 12 ） 第五章 方差分析 其中 tinjijiEiXXS1 12)(（ 5. 1. 13 ） tiiitinjiAXXnXXSi121 12)()(（ 5. 1. 14 ） 易见ES反映了随机误差所造成的数据变异，称ES为 误差平方和（或组内平方和） 。如果因素 A 的效应是显著的，这些效应引起的数据变异必然反映到)( XX i 中，所以AS包含了因素 A 在各个水平下的不同作用在数据中引起的波动，称AS为 因素 A 的效应平方和（或组间平方和） 。 T E AS S S 第五章 方差分析 单因素试验方差分
8、析表 方差来源 平方和 自由度 均方 F比 因素 A 误差 总和 TEASSSEASS11ntntEASSF 第五章 方差分析 由此得到检验问题的拒绝域的形式： 该检验法的直观意义是：当组间差异相对于组内差异较大时就拒绝原假设 。 在计算时，我们只要算出 F值，然后与 F分布的临界值比较即可；也可运用 Excel计算分析 。 ),1( tntFSSFEA 0H 第五章 方差分析 在具体计算时，可以按以简便的公式来进行 。 记 tiinjjii TTtiXTi11,.,1, 则 ATEti iitiiiAtinjjitinjjiTSSSnTnTXnXnSnTXXnXSii2.12.212.2.1
9、 1221 12 第五章 方差分析 例 1 采用四种不同产地的原料萘，按同样的工艺条件合成 萘酚，测定所得产品的熔点如下表所示，问原料萘的产地是否显著影响产品的熔点 产地 1 产地 2 产地 3 产地 4 124.0 123.0 123.5 123.0 123.0 123.0 121.5 121.0 123.0 123.5 121.0 第五章 方差分析 解 : 经过计算得到下列方差分析表 由上表可知，接受原假设， 即原料萘的产地对萘酚熔点无显著影响 。 方差来源 平方和 自由度 均方 F比 F临界值 原料产地 误差 总和 4.6572 5.9792 10.6364 3 7 10 1.5524
10、0.8542 1.8174 3.07 第五章 方差分析 第二节 双因素试验的方差分析 一、双因素等重复试验的方差分析 在实际中，影响一事物的因素有两个或更多。下面我们讨论双因素的方差分析问题。 双因素方差分析的基本思路：若某一因素的几个水平会引起事物很不同的结果，则这个因素就是重要的；若某一因素的几个水平仅是导致事物相近的结果，则这个因素就是不重要的。 第五章 方差分析 设因素 A有 r个水平，因素 B有 s个水平。 试验结果 因素 B 因素 A B1 B2 Bs A1 A2 Ar tXXX 111 1 21 1 1 , tXXX 121 2 21 2 1 , stss XXX 12111 ,
11、 tXXX 21212211 , tXXX 22222221 , stss XXX 22212 , trrr XXX 11211 , trrr XXX 22221 , r s trsrs XXX , 21 第五章 方差分析 并设 ),( 2 ijijk NX，sjri ,1;,1 ，tk ,2,1，ijkX之间相互独立 。 这里，2, ij均为未知参数 。 或写成 tksjri，ijkijkijkijijkN，X,2,1,2,1,2,1),0(2之间相互独立（ 5. 2.1 ） 记 riijjsjijirisjijsjrrisrs111 1.,1,1;,1,1;1（ 5. 2 .2 ） 第五章
12、 方差分析 并称为总平均，称i为因素 A 的第i个水平的平均，称j为因素 B 的第j个水平的平均 。 称 sjijijiris 1,1,)(1（ 5.2 .3 ） 为因素 A 的第i水平iA的主效应 。 由（ 5. 2. 1 ）、（ 5.2 .2 ）式知，iA的主效应i是依赖于另一因素 B 的水平选取 。 同样，称 sjjj ,1,. （ 5.2 .4 ） 为因素 B 的第j水平jB的主效应，它也依赖于因素 A 的水平的选取 。 又记 jiijjiijij .,1;,1),()( . sjriijij （ 5.2 .5 ） 并称 ij 为 iA 与 jB 的交互效应 。 第五章 方差分析 此假
13、设检验问题为 不全为零:0:112101HH r 不全为零:0:222102HH s 不全为零:0:33121103HH rs 第五章 方差分析 risjtkijkXr s tX1 1 11， sjritkijkijXtX ,2,1,2,1,11. ， risjtkijkiXstX ,2,1,11 1. ， sjXrtXritkijkj,2,1,11 1. 以TS表示总偏差平方和，即有 risjtkijkTXXS1 121)( 5 . 2.12 ) 通过一系列的运算，我们得到 BABAET SSSSS 第五章 方差分析 其中， risjijtkijkEXXS1 12.1)(5. 2.14 ) ri
