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1、每日一题 201 年 月 姓名“金太阳”江苏省2010年百校大联考数学试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1. 若,则集合的元素个数为 2. 已知命题:“,使x2+2x+a0”为真命题,则a的取值范围是 3. 复数z=,则|z|= 4. 若A、B是锐角ABC的两个内角,则点P(cosBsinA,sinBcosA)在第 象限.5. 已知函数在区间0,1上是减函数,则实数a的取值范围是 6. 等比数列的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则的公比为 7. 按右图所示的程序框图运算,若输入,则输出= 8. 已知函数的取值范围为
2、9. 在DABC中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA=,则C的大小应为 10. 关于直线m,n与平面,有以下四个命题:若,则若;若若;其中真命题的序号是 11. 若,则椭圆的离心率是 12. 设、满足约束条件若目标函数为,则的最大值为 13. 已知向量,设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点),则的最小值为 14.在实数数列中,已知则的最大值为 二、解答题:本大题共6道题,计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.15. (本小题满分14分)已知函数是的导函数。()求函数的最大值和最小正周期;()若的值。16. (本小题满分14分)已
3、知直三棱柱中,为等腰直角三角形,且,分别为的中点,(1)求证:/平面;(2)求证:平面;(3)求三棱锥E-ABF的体积。17. (本小题满分14分) 已知数列是一个公差大于0的等差数列,且满足 (1)求数列的通项公式; (2)数列和数列满足等式,求数列 的前n项和Sn。18. (本小题满分16分)某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元.现在共派
4、去x名工人,抢修完成共用n天.()写出n关于x的函数关系式;()要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失渗水损失政府支出).19. (本小题满分16分)已知圆:交轴于两点,曲线是以为长轴,直线:为准线的椭圆(1)求椭圆的标准方程;(2)若是直线上的任意一点,以为直径的圆与圆相交于两点,求证:直线必过定点,并求出点的坐标;(3)如图所示,若直线与椭圆交于两点,且,试求此时弦的长20. (本小题满分16分)已知函数(a0,且a1),其中为常数如果 是增函数,且存在零点(为的导函数)()求a的值;()设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1x2)是函数yg(x)的图象上两点,( 为的导函数)
5、,证明:“金太阳”江苏省2010年百校大联考数学试题参考答案1.3 2. a-8 3. 4. 二 5. (1,2) 6. 7.4 8. 9. 10. 11. 12.5 13.-8 14.615. 解(1),2分4分时,6分最小正周期为7分(2)11分=14分16.解:(1)取BB1 中点G,连DG,EGB1D=AD, B1G=GB,DG/AB,同理GE/BC,DGGE=G,ABBC=B,平面DGE/平面ABC , DE平面DGE,DE/平面ABC . 5分(2) AB=AC=2 BAC= , BC=2在中EC=1 =3 = 又 , 平面,, , 平面 10分(3)EF=. ,=1 14分17.
6、解(1)设等差数列的公差为d,则依题设由,得由得由得将其代入得即 4分又,代入得6分7分(2)令,则有两式相减得由(1)得,即当时,又当n=1时,10分于是 即14分18.解:()由题意得所以. 4分()设总损失为 8分当且仅当时,即时,等号成立. 11分所以应派52名工人去抢修,总损失最小. 16分19.解:()设椭圆的标准方程为,则:,从而:,故,所以椭圆的标准方程为。4分()设,则圆方程为 与圆联立消去得的方程为, 过定点。 10分 ()解法一:设,则, ,即: 代入解得:(舍去正值), ,所以,从而圆心到直线的距离,从而。 16分解法二:过点分别作直线的垂线,垂足分别为,设的倾斜角为,
7、则:,从而, 由得:,故,由此直线的方程为,以下同解法一。 解法三:将与椭圆方程联立成方程组消去得:,设,则。,所以代入韦达定理得:, 消去得:,由图得:, 所以,以下同解法一。 20.()因为,所以3分因为h(x)在区间上是增函数,所以在区间上恒成立若0a1,则lna0,于是恒成立又存在正零点,故(2lna)24lna0,lna0,或lna1与lna1由恒成立,又存在正零点,故(2lna)24lna0,所以lna1,即ae 7分()由(),于是,9分以下证明 ()()等价于 11分令r(x)xlnx2xlnxx2x,13分r (x)lnx2lnx,在(0,x2上,r(x)0,所以r(x)在(0,x2上为增函数当x1x2时,r(x1) r(x2)0,即,从而得到证明15分对于同理可证所以16分第 9 页 共 9 页