《第8章 z变换、离散时间系统的z域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第8章 z变换、离散时间系统的z域分析（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、石家庄学院教案本章 节 第八章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析 1-3 节 日期教学目的 理解 z 变换及其收敛域，掌握典型序列 z 变换教学重点 典型序列 z 变换；z 变换的收敛域教学难点 z 变换的收敛域教学方法 讲授教学内容第八章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析8.1 引言变换方法的原理可以追溯到 18 世纪。棣莫弗（De Moivre） 、拉普拉斯（P.S.Lapalce）相继作出z过杰出的贡献。在离散信号与系统的理论中， 变换成为一种重要的数学工具。它把离散系统的数学模型差z分方程转化为简单的代数方程，使其求解过程得以简化。因此，其地位类似于连续系统中的拉氏变换。下面借
2、助抽样信号的拉氏变换引出其定义。若连续因果信号 经均匀冲激抽样，则抽样信号 为：)(tx )(txs0)()(nTs nTtxt 取拉氏变换： dtetxdtesXsns00 )()()(000)()(nsnTsnstexdttex令： 或写作 ，且一般令 则：sTezzl11(8-1)00)()()(nnnzxzTxXse上式即为单边 变换。记为：z(8-2)zxxzxznn)2(1)()()(L)(08.2 z 变换定义、典型序列 z 变换与拉氏变换类似， 变换也有单边和双边之分，对于一切 只都有定义的序列 ，定义双边z )(nx变换为：z nnzxzX)()(L)(显然，如果 为因果序列
3、，则双边和单边是等同的。)(nx上面两式表明，序列的 变换是复变量 的幂级数（亦称洛朗级数） ，其系数是序列 值。有z1z )(nx石家庄学院教案本些文献当中也把 称为序列 的生成函数。由于离散时间系统非因果序列也有一定的应用范围，)(zX)(nx因此在着重介绍单边 变换的同时兼顾双边 变换分析。z下面介绍一些典型序列的 变换。（一）单位样值函数定义为： )0(1)(n如图 8-1 所示。取 变换，得到：z 1)()(Z0nnz可见，与连续系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单位样值函数的 变换等于 1。（二）单位阶越序列定义为： )0(1)(nu如图 8-2 所示。取 变换，得到：z 00)()
4、(Znnzu若 ，该几何级数收敛，它等于1| 1)(zz（三）斜变序列斜变序列为： )(nux如图 8-3 所示。取 变换，得到：z 0)(Znzx该变换可以用下面的方法间接求得。已知，当 时有：1|z 10)(znu将上式两边分别对 求导，得到： 2101)()(zznn两边各乘 ，就可得到斜变序列的 变换：1z )|()()(Z20zun同样，若对上式再对 求导，可以得到：1z 32)1()zn)(n10图 8-1 单位样值函数 n)(nu10图 8-2 单位阶越序列n)(nx0图 8-3 斜变序列石家庄学院教案本423)1()(Zznu（四）指数序列单边指数序列： )()(axn如图 8
5、-4。取 变换，得到：z 010)()(Znnnn zzua若满足： ，则可收敛为：| azuan1)(若令 ，当 时，则：bea|bez bbnez)(Z同样，对单边指数序列变换式两边对 求导，可以求得：1z 221)()() azauan 32Z（五）正余弦序列单边余弦序列 如图 8-5 所示。因为：)cos(0n|)|( bbb ezua令 ，则当 时，得：0jb1|0jez00)(Zjnj ez同样，令 ，则得：0j 00)(jnjzua将上两式相加，得： 0000 )(Z)( jjnjnj ezz由 变换的定义可知：两序列之和的 变换等于各序列 变换的和。根据欧拉公式，从上式可以直接
6、z z得到余弦序列的 变换：z 1cos2)(21)(cosZ 00 00 zezznujj同理可得正弦序列 变换：z sin)(si 020 00zzjjjn)(nx10图 8-4 单边指数序列n)(nx10图 8-5 单边余弦序列石家庄学院教案本以上两式得收敛域都为： 。1|z在指数序列的变换式中，令 ，则有：0jea10)(Zzenujjn同理： 100)( zajnj 借助欧拉公式，有上面两式可以得到： 2022010 cos)(cos2)(cosZ zzzunn inini 上面两式就是单边指数衰减 及增幅 的余弦、正弦的 变换。收敛域为： 。一)()(z|z些典型的单边 变换列于附
7、录五。z8.3 z 变换的收敛域只有当级数收敛时， 变换才有意义。对于任意给定的有界序列 ，使 变换定义式级数收敛z )(nxz之所有 值的集合，称为 变换的收敛域（region of convergence，简写为 ROC） 。z对于单边变换，序列与变换式一一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同一个变换式。也即：两个不同的序列由于收敛域不同，可能对应于相同的 变换。因此，为了单值的确定 变换所对应的序列，不仅要给出序列的 变换式，而且必z z须同时说明它的收敛域。在收敛域内， 变换及它的导数是 的连续函数，即 变换函数是收敛域内z每一点上的解
8、析函数。双边 变换的表达式满足收敛的充分条件是绝对可积：z nnzx|)(|上式左边构成正项级数，有两种方法判定收敛性：比值判定法和根值判定法。若一个正项级数为 ，判定其收敛的方法为：na|比值判定： ；根植判定：n1limna|lim当 时级数收敛，当 时级数发散，当 时无法判定。1利用上述判定方法讨论几类序列的收敛域。（1）有限长序列这类序列只在有限区间（ ）内有非零的有限值，此时 变换为：21nz21)()(nnzxzX上式是一个有限项级数。当 时，收敛域为 且 ，即： ；0,21nz0|当 时，收敛域为 ，即： ；|z当 时，收敛域为 ，即： 。,21时，若 ，则 ；0nnz时，若 ，
9、则 。z当 都大于 0 时，收敛域包括 ；21,当 都小于 0 时，收敛域包括0。石家庄学院教案本（2）右边序列这类序列是有始无终的序列，即当 时， ，此时 变换为：1n0)(xz1nzX由根植判定法，该级数收敛应满足 |)(|limnnzx即： 1|)(|li| xnR其中， 是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为 的圆外部分。1xR若 ，则收敛域包括 ，即 ；0nz1|xRz若 ，则收敛域不包括 ，即 。1|显然，当 时，右边序列变成因果序列，也就是说，因果序列是右边序列的一种特殊情况。（3）左边序列这类序列是无始有终的序列，即当 时， ，此时 变换为：2n0)(xz2nnzX进
10、行变量代换可得： 2)()(nnzxz由根植判定法，该级数收敛应满足 1|)(|limnz即： 2|)(|li| xnRz其中， 是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为 的圆内部分。2xR若 ，则收敛域不包括 ，即 ；0n0z2|xz若 ，则收敛域包括 ，即 。2|R（4）双边序列一般写作： 10)()()()( nnnn zxzxzxzX该式可以看作是右边序列（第一项）和左边序列（第二项）的叠加。收敛域为两部分收敛域的重叠部分： 21|xxRz其中 。所以，双边序列的收敛域通常是环形。若 ，则该序列不收敛。21,0xxR 21x以上可以看到，收敛域取决于序列的形式。P52 表 8-
11、1 列出了几类双边变换的收敛域。例 8-1 求序列 的 变换，并确定它的收敛域（其中 ） 。)()()(nubanz 0ab石家庄学院教案本解：这是一个双边序列。先求单边 变换：z 000 )1()()()( nnnn zazubazxzX如果 ，则该级数收敛，可得到：a| azzXn0)(其零点位于 ，极点位于 ，收敛域为 。0zaz|再求双边 变换： - )1()()()(n nnn zubzx10a0nnnzbz若 且 ，则该级数收敛，可得到：a|zb| bzazazX1)(其零点位于 及 ，极点位于 及 ，收敛域为 。02/az a|注： 变换 在收敛域内是解析的，因此收敛域内不应该包
12、含任何极点。通常，收敛域以极点)(为边界。对于多个极点的情况，右边序列的收敛域是从 最外面（最大值）有限极点向外延伸至)(zX（可能包括 ） ；左边序列的收敛域是从 最里面（最小值）非零极点向内延伸至z（可能包括 ） 。00z石家庄学院教案本备注章 节 第八章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析 4-5 节 日期教学目的 掌握 z 变换基本性质以及逆变换的求法教学重点 z 变换基本性质以及逆变换的求法教学难点 逆变换的求法教学方法 讲授教学内容8.4 逆 z 变换若 ，则 的逆变换记作 ，它由以下围线积分给出：)(L)(nxzX)(zX)(L1XdzjnxCn112是包围 所有极点之逆时针闭
13、合积分路线，通常选择 平面收敛域内以原点为中心的圆。证C1)(nz明略。求逆变换的计算方法有三种。（一）留数法（围线积分法）借助于复变函数的留数定理，可以把逆变换的积分表示为围线 内所包含 的各极点留数C1)(nzX之和。即： mnCnzXdzXjnx )()(21)( 11内 极 点 的 留 数在或简写为： znmx)(Res)(1式中，Res 表示极点的留数， 为 的极点。mz1nz若 为一阶极点，则mz mmznznXX )()(es 11若 为 阶极点，则s mm znsszn zd 111 )()!()(R例 8-2 已知 ，求 。2,)(53)(2zX ZXnx解：因为 )2(15
14、3)(1zzXnn（1）当 时，围线内只有 这个极点。所以0nz)(Res)( 11znznnx石家庄学院教案本（2）当 时， 均为围线内的极点。所以0n1,z围 线 内 所 有 极 点)(Res)(1nzXnx本题中围线内有两个极点 ，围线外有一个极点 。根据留数的性质：,02 围 线 外 所 有 极 点围 线 内 所 有 极 点 )(es)(Res 11 nn zzX因此可以求得： nznznx 253)(s)(21综合（1） （2）可以得到： )1()(un这道题说明，在应用留数法求逆变换时，应当注意收敛域内围线所包围的极点情况，特别应关注对不同的 值，在 处的极点可能具有不同的阶次。另外，收敛域的不同也会得到不同的结果，如n0z书上 P56,例 8-2。（二）长除法（幂级数展开法）因为 的 变换定义为 的幂级数)(x1znnzxzX)()(所以，只要在给定的收敛域内把 展开成幂级数，级数的系数就是序列 。)(nx一般情况下， 是有理数，令分子、分母多项式分别为 。若收敛域为 ，)(zX),(zDN1|xRz则 按 的降幂（或 的升幂）次序排列，进行长除法；若收敛域为 ，则)(,DzN1 2|x按 的升幂（或 的降幂）次序排列，进行长除法。例 8-3 求 的逆变换 。|,)(2z)(nx解
