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1、直线的倾斜角和斜率(第一课时)说 课池州市殷汇中学 汪跃进,教材的地位和作用,教学的重点和难点,一、教材分析,教学目标的确定,地位作用,直线是最基本最简单的几何图形,它既是为进一步学习做好知识上的必要准备,又能为今后灵活的运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。为了进一步研究直线,建立了直线倾斜角的概念,进而建立直线斜率的概念。而作为直线方程的一个简单应用,介绍了简单的线性规划问题。因此本节内容的学习既对后面内容的学习起到纲举目张的作用,又是提高学生解决问题能力的一种途径,更是加强学生应用意识、发展学生抽象能力和逻辑思维能力的良好载体。,一、教材分析:,教学目标的确定,一、教材分析:,知识
2、目标: (1)了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念; (2)理解直线的倾斜角和斜率的定义,会求直线的倾斜角和斜率.能力目标: 通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示,以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路,培养学生综合运用知识解决问题的能力。情感目标: 帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想,在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系,体现数、形的统一美,激发学生学习数学的兴趣,对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育,培养学生勇于探索、勇于创新的精神。,重点 直线的倾斜角和斜率概念。,难点对“直线的方程”和“方程的直线”的概
3、念以及对斜率概念的理解。,一、教材分析:,二、学情分析,认知水平,能力,情感,三、教法分析和学法指导,指导思想 (1)以皮亚杰的建构主义理论为中心,突出学生的主体地位,一切以有利于学生主动建构为目的。 (2)以维果斯基的最近发展区理论为指导,通过各种方式给学生搭建思维平台,缩小学生认知水平与认知目标之间的差异。 (3)根据斯托利亚所言“数学教学是数学活动的教学”,通过创设有吸引力的问题情景,激发学生参与的热情。,本节内容在教学中,我采用“问题教学”与“探究式教学”相结合的方法,设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。学生在积极思维的基础上,进行充分的讨论、争辩、交流、小结倾斜角如何定义、为
4、什么斜率定义为倾斜角的正切,这两项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境,引发争论,组织交流,归纳总结。,四、教学过程,知识导入,知识探索,知识应用,x,o,四、教学过程,新课引入,文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学,也接受了东方传入的代数学。利学技术的发展,使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点,表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处,而没有它们的缺点的方法”。,四、教学过程,学习本单元目的:为对计算机的图形进行处理;为进一步学习高等数学打基础;为运用数形结合解题打好基础。,例
5、:y=2x+1的图象是一条直线,X,Y,O,A,P,(1)有序数对(0,1)满足函数y=2x+1,则直线上就有一点A,它的坐标是(0,1)。,(2)反过来,直线上点P(1,3),则有序实数对(1,3)就满足y=2x+1。,一次函数y=kx+b的图象是一条直线,直线上的每一点的坐标都是方程的解,反过来,方程的每一个解表示的点都必在直线上。,归纳,定义,四、教学过程,直线的方程 方程的直线 (点集) (解集),以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反过来,这条直线上的点的坐标都是方程的解;这时,这个方程叫做这条直线的方程,这条直线叫做方程的直线,一 一对应,以上定义用集合的语言表述:直线可以
6、看成由点组成的集合记为C,以一个关于x,y的二元一次方程的解为坐标的点集记为F,若满足 则,你能用充要条件叙述吗?,平面几何一开始就把“两点确定唯一一条直线”作为公理提出。确定直线的还有什么其它方法呢? 提出“方向角”的概念以后,确定直线位置的几何要素有两个:一个点和直线的方向。,四、教学过程,问题1:在直角坐标系中,过点P的一条直线绕P点旋转,不管旋转多少周,它对x轴的相对位置有几种情形?画图表示。,总结:有四种情况,如图。可用直线 与x轴所成的角来描述。我们规定,直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。特别地,当直线和x轴平行或重合时,它的倾斜角为0。,直线的倾斜角
7、,四、教学过程,直线的倾斜角:,Y,X,O,定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角,记为 a 那么就叫做直线的倾斜角。,四、教学过程,问题2:下列图中标出的直线的倾斜角对不对?如果不对,违背了定义中的哪一条?,四、教学过程,问题3:直线的倾斜角能不能是0?能不能是锐角?能不能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平角?,(通过问题3的分析可知倾斜角的取值范围是 0 180, 在此范围内,坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角。而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向,倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度。)
8、,四、教学过程,直线的斜率:,定义:直线倾斜角的正切,即tan=k,O,X,Y,当=00 时,k= 0(如L1),当00900时,k0 (如L2),L1,L2,当=900 时,k不存在(如L3),当9001800时,k0(如L4),L3,L4,四、教学过程,x,注 意斜率k是一个数值,它可以是任意实数。,2.当为直角时,直线斜率不存在,但并不是直线不存在,直线有斜率时必有倾斜角,反之则不一定。,四、教学过程,我们在日常生活中,还会遇到一个叫“坡度”的概念,坡度即是坡面的铅直高度和水平长度之比。常用千分之几(铁路)或百分之几(公路)表示。,四、教学过程,“坡度”的定义对我们 定义直线的斜率有什么
9、启示呢?,四、教学过程,用tan表示直线的斜率最方便,因此不用其它的三角函数。,例1:,四、教学过程,关于直线的倾斜角和斜率,下列那些说法是正确的:(1)任意一条直线都有倾斜角,也都有斜率;(2)直线的倾斜角越大,它的斜率就越大;(3)平行于X轴的直线的倾斜角是0或180;(4)两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等;(5)直线斜率的范围是(-,+)。,例2:直线 的倾斜角 =30,直线 , 求 , 的斜率。,解: 的斜率为 的倾斜角为 的斜率为,四、教学过程,例3:,四、教学过程,直线的倾斜角 的正弦值为 ,则此直线的斜率为 .,例4:,四、教学过程,已知直线 , 的斜率分别为 和 ,求它们的倾斜角,并判定两直线的位置关系。,(2)若直线的斜率k满足: ,则 的倾斜角a的范围是,(1)课本练习1,课堂练习,四、教学过程,四、教学过程,课堂小节,直线的方程与方程的直线的概念;直线倾斜角的概念;直线斜率的概念;直线的倾斜角大小和斜率变化二者之间的关系;,选做题:(1)如果直线 的斜率为0, ,那么直线 的斜率怎样?(2)如果直线 的倾斜角是 的2倍,那么它的斜率是不是 的2倍?,五、布置作业,必做题:(1)课本习题一:2、3,