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1、14.1 坐标系与参数方程,第1课时 坐标系,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：_的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.,1.平面直角坐标系,知识梳理,2.极坐标系,(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.,平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度和从射线Ox到射线OM的角度来刻画(如图所
2、示).这两个数组成的有序数对(，)称为点M的极坐标.称为点M的 ，称为点M的 .一般认为0.当极角的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(，) (0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径0，极角可取任意角.,极径,极角,(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(，).由图可知下面关系式成立：,这就是极坐标与直角坐标的互化公式.,3.常见曲线的极坐标方程,r(02),2rcos ( ),2rsin (0),sin a (0),1.(2016北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2， )且与极轴平行的直线方程.,考点自测,
3、解答,过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y2.,即为sin 2.,解答,3.在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点.当AOB是等边三角形时，求a的值.,解答,由4sin 可得x2y24y，即x2(y2)24. 由sin a可得ya. 设圆的圆心为O，ya与x2(y2)24的两交点 A，B与O构成等边三角形，如图所示.,由对称性知OOB30，ODa.,题型分类 深度剖析,题型一 极坐标与直角坐标的互化,例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y1x(0x1)的极坐标方程.,解答,y1x化成极坐标方程为cos sin 1，,
4、0x1，线段在第一象限内(含端点)，,(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标.,解答,因为xcos ，ysin ，由sin2cos ，得2sin2cos ，,所以曲线C1的直角坐标方程为y2x. 由sin 1，得曲线C2的直角坐标方程为y1.,思维升华,(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件： 极点与原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；取相同的单位长度. (2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及 ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方
5、程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换.,跟踪训练1 (1)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程.,解答,将x2y22，xcos 代入x2y22x0， 得22cos 0，整理得2cos .,(2)求在极坐标系中，圆2cos 垂直于极轴的两条切线方程.,解答,由2cos ，得22cos ，化为直角坐标方程为x2y22x0，即(x1)2y21，其垂直于x轴的两条切线方程为x0和x2，,题型二 求曲线的极坐标方程,例2 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标
6、变为原来的2倍，得曲线C. (1)写出曲线C的方程；,解答,设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，,(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.,解答,化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，,思维升华,求曲线的极坐标方程的步骤： (1)建立适当的极坐标系，设P(，)是曲线上任意一点； (2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.,跟踪训练2 在极坐标系中，已知
7、圆C经过点P( )，圆心为直线 与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.,解答,令0，得1，,所以圆C的圆心坐标为(1,0).,如图所示，因为圆C经过点,于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos .,题型三 极坐标方程的应用,例3 (2015课标全国)在直角坐标系xOy中，直线C1：x2，圆C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1，C2的极坐标方程；,解答,因为xcos ，ysin ， 所以C1的极坐标方程为cos 2， C2的极坐标方程为22cos 4sin 40.,由于C2的半径为1，所以C2MN为等腰直角三角形，,解答,思维升华,(1
8、)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程； (2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.,跟踪训练3 (2017广州调研)在极坐标系中，求直线sin( )2被圆4截得的弦长.,解答,课时作业,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,2.在极坐标系(，)(02)中，求曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标.,解答,曲线(cos sin )1化为直角坐标方程为xy1，(sin cos )1化为直角坐标方程为yx1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,3.在极坐标系中，已知圆3cos 与直线2cos 4sin a0相
9、切，求实数a的值.,解答,圆3cos 的直角坐标方程为x2y23x，,直线2cos 4sin a0的直角坐标方程为2x4ya0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系， 则曲线2cos 的直角坐标方程为(x1)2y21， 且圆心为(1,0).,因为圆心(1,0)关于yx的对称点为(0,1)， 所以圆(x1)2y21关于yx的对称曲线为x2(y1)21.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,对曲线C1的极坐标方程进行转化： 12sin ，212sin ，x2y212y0， 即x2(y6)2
10、36. 对曲线C2的极坐标方程进行转化：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,OA4，OB5，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,7.已知P(5， )，O为极点，求使POP为正三角形的点P的坐标.,解答,设P点的极坐标为(，). POP为正三角形，如图所示，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,8.在极坐标系中，判断直线cos sin 10与圆2sin 的位置 关系.,直线cos sin 10可化成xy10，圆2sin 可化为x2y22y，即x2(y1)21.,解答,故直线与圆相交.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,解答,(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上.,kMNkNP，M、N、P三点在一条直线上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,当0时，2，所以M(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.,解答,M点的直角坐标为(2,0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,
