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1、4.1 证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程 2 2 22 1 0 E E ct ? = ? ，其中 2 00 1 c =，为常数。(1) 0 E 0cos( ) x Ee Etz c = ? ? ；(2) 0sin( )cos() x Ee Ezt c = ? ? ； (3) 0cos( ) y Ee Etz c =+ ? ? 。 证：证：(1) 2 22 00 2 cos()cos() xx Ee Etze Etz czc = ? ? 2 0 ()cos() x eEt cc z = ? 22 2 00 22 cos()cos() xx E e EtzeEtz ttcc = ? ? 2
2、 222 00 222 11 ()cos()cos()0 xx E EeEtzeEtz ctcccc = = ? ? ? 即矢量函数 0cos( ) x Ee Etz c = ? ? 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = ? ? 。 (2) 2 22 00 2 sin()cos()sin()cos() xx Ee Ezte Ezt czc = ? ? 2 0 ()sin()cos() x eEz cc t = ? 22 2 00 22 sin()cos()sin()cos() xx E e EzteEzt ttcc = ? ? 2 222 00 222 11 ()sin()co
3、s()sin()cos()0 xx E EeEzteEzt ctcccc = = ? ? ? 即矢量函数 0sin( )cos() x Ee Ezt c = ? ? 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = ? ? 。 (3) 2 22 00 2 cos()cos() yy Ee Etze Etz czc =+=+ ? ? 2 0 ()cos() y eEt cc z = + ? 22 2 00 22 cos()cos() yy E e EtzeEtz ttcc =+= ? ? + 2 222 00 222 11 ()cos()cos()0 yy E EeEtzeEtz ctccc
4、c = += ? ? ? 即矢量函数 0cos( ) y Ee Etz c =+ ? ? 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = ? ? 。 4.2 在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度( )E r ? ? 的波动方程为 22 ( )( )0E rE r += ? ? 已知矢量函数 j 0 ( )e k r E rE = ? ? ? ，其中 0 E ? 和k ? 是常矢量。试证明( )E r ? ? 满足波动方程 的条件是 22 k =，这里kk= ? 。 证：证：在直角坐标系中 xyz re xe ye z=+ ? 设 xxyyz ke ke ke k=+ ? ? z 则(
5、) () xxyyzzxyzxyz k re ke ke ke xe ye zk xk yk z=+=+ ? ? 故 j() j 00 ( )ee xyz k x k y k z k r E rEE + = ? ? ? j() 22j2 00 222 j() 0 222 j() 2222 0 ( )ee e ()e xyz xyz xyz k x k y k z k r k x k y k z k x k y k z xyz E rEE E xyz kkkEk E r + + + = =+ = = ? ? ? ? ?( ) ? 代入方程，得 22 ( )( )0E rE r += ? ? 22
6、 0k EE += ? 故 22 k = 4.3 已知无源的空气中的磁场强度为 9 0.1sin(10 )cos(6 10) A/m y Hextkz= ? ? 利用波动方程求常数k的值。 解：解：在无源的空气中的磁场强度满足波动方程 2 2 00 2 ( , ) ( , )0 H r t H r t t = ? ? ? ? 而 229 229 ( , )0.1sin(10 )cos(6 10) (10)0.1sin(10 )cos(6 10) y y H r textkz ekxt = = ? kz ? ? 22 9 22 929 ( , ) 0.1sin(10 )cos(6 10) (6
7、10 ) 0.1sin(10 )cos(6 10) y y H r t extkz tt ex = = ? ? ? ? tkz 代入方程 2 2 00 2 ( , ) ( , )0 H r t H r t t = ? ? ? ? ，得 22929 00 (10)(6 10 )0.1sin(10 )cos(6 10)0 y ekxtk += ? z 于是有 2292 00 (10)(6 10 )0k += 故得 922 00(6 10 ) (10)10 3k = 4.4 证明：矢量函数 0cos( ) x Ee Etx c = ? ? 满足真空中的无源波动方程 2 2 22 1 0 E E ct
8、 = ? ? 但不满足麦克斯韦方程。 证：证： 2 222 000 2 ( , )cos()cos()()cos() xxx E r te Etxe EtxeEtx cxccc = ? ? 22 22 00 22 ( , )cos()cos() xx Er te EtxeEtx ttcc = ? ? 所以 2 222 00 222 11 ()cos()cos()0 xx E EeEtxeEtx ctcccc = = ? ? ? 即矢量函数 0cos( ) x Ee Etx c = ? ? 满足波动方程 2 2 22 1 0 E E ct = ? ? 。 另一方面， 00 cos()sin()0
9、EEtxEtx xccc = ? 而在无源的真空中，应满足麦克斯韦方程为 E ? 0E= ? 故矢量函数 0cos( ) x Ee Etx c = ? ? 不满足麦克斯韦方程组。 以上结果表明，波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。 4.5 证明：在有电荷密度和电流密度J ? 的均匀无损耗媒质中，电场强度E ? 和磁 场强度的波动方程为 H ? 2 2 2 () EJ E tt =+ ? ? ， 2 2 2 H HJ t = ? ? 证：证：在有电荷密度和电流密度J ? 的均匀无损耗媒质中，麦克斯韦方程组为 E HJ t =+ ? ? (1) H E t = ? ? (2) 0H= ? (3)
10、E = ? (4) 对式(1)两边取旋度，得 ()HJ t E = + ? 而 2 ()HH= H ? 故 2 ()(HHJ t )E = + ? (5) 将式(2)和式(3)代入式(5)，得 2 2 2 H HJ t = ? ? 这就是的波动方程，是二阶非齐次方程。 H ? 同样，对式(2)两边取旋度，得 ()EH t = ? 即 2 ()(EEH t ) = ? 将式(1)和式(4)代入式(6)，得 2 2 2 1EJ E tt =+ ? ? 此即满足的波动方程。 E ? 4.6 在应用电磁位时， 如果不采用洛伦兹条件， 而采用库仑条件0A= ? ， 导出A ? 和所满足的微分方程。 解：
11、解：将电磁矢量位A ? 的关系式 BA= ? 和电磁标量位的关系式 A E t = ? ? 代入麦克斯韦第一方程 E HJ t =+ ? ? 得 1 () A AJ tt =+ ? ? 利用矢量恒等式 2 ()AA= A ? 得 2 () A AAJ tt =+ ? ? (1) 又由 D= ? 得 A t = ? 即 2 ()A t += ? (2) 按库仑条件，令0A= ? ，将其代入式(1)和式(2)，得 2 2 2 A AJ tt = + ? ? (3) 2 = (4) 式(3)和式(4)就是采用库仑条件时，电磁位函数A ? 和所满足的微分方程。 4.7 证明在无源空间（0=、0J =
12、? ）中，可以引入矢量位 m A ? 和标量位 m ，定 义为 m DA= ? ， m m A H t = ? ? 并推导和 m A ? m 的微分方程。 证：证：无源空间的麦克斯韦方程组为 D HJ t =+ ? ? (1) B E t = ? ? (2) 0B= ? (3) 0D= ? (4) 根据矢量恒等式0A= ? 和式(4)，知D ? 可表示为一个矢量的旋度，故令 m DA= ? (5) 将式(5)代入式(1)，得 m ()HA t = ? 即 m 0 A H t += ? ? (6) 根据矢量恒等式0=和式(6)，知 m A H t + ? ? 可表示为一个标量函数的梯度， 故令 m m A H t += ? ? 即 m m A H t = ? ? (7) 将式(5)和式(7)代入式(2)，得 m mm 1A A tt = ? ? (8) 而 2 mm () m AAA= ? 故式(8)变为 2 2 m mm 2 () A AA tt = m ? ? (9) 又将式(7)代入式(3)，得 m m 0 A t = ? 即 2 mm ()A t 0 += ? (10) 令 m m A t = ? 将它代入式(9)和式(10)，即得 m A ? 和 m 的
