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1、 2019年高考数学讲练测【新课标版 】【讲】第八章 立体几何第01节 空间几何体的结构及其三视图和直观图【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.2014新课标I.12.19； II.6,
2、11;2015新课标I.6,11;II.6,9,19; 2016新课标I.6,11;II.6;III.9,10,19;2017新课标I.7,18;II.4,10,19；III.8.2018新课标I.7,12,18;II.9,16,20;III3,10.1.以考查三视图、几何体的结构特征以及几何体的面积体积计算为主，三视图基本稳定为选择题或填空题，难度中等以下；几何体的结构特征往往在解答题中考查，与平行关系、垂直关系等相结合.2.与立体几何相关的“数学文化”等相结合，考查数学应用的.3.三视图是高考重点考查的内容，考查内容有三视图的识别；三视图与直观图的联系与转化；求与三视图对应的几何体的表面积
3、与体积命题形式为用客观题考查识读图形和面积体积计算，解答题往往以常见几何体为载体考查空间想象能力和推理运算能力，期间需要灵活应用几何体的结构特征4.备考重点： (1) 掌握三视图与直观图的相互转换方法是关键；(2)掌握常见几何体的结构特征.【知识清单】1空间几何体的结构特征一、多面体的结构特征多面体结构特征棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等棱锥有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形棱台棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分二、旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形一条直角边所在的直线圆台直角梯形
4、垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线三、简单组合体简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体2空间几何体的直观图简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴、y轴，两轴相交于点O，且使xOy45或135，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x轴、y轴已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半(2)画几何体的高在
5、已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴，也垂直于xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z轴且长度不变3.空间几何体的三视图三视图几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线【重点难点突破】考点1：空间几何体的结构特征【1-1】【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（A）3 （B）2 （C）2 （D）2【答案】B【解析】【1-2】【2018年理新课标I卷】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A. B.
6、C. D. 【答案】A【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.【领悟技法】三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，要特别注意掌握它们的几何特征【触类旁通】【变式1】【2018年理数全国卷II】在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】C【变式2】【2018
7、届云南省名校月考一】已知长方体的所有顶点在同一个球面上，若球心到过点的三条棱所在直线的距离分别是，则该球的半径等于_【答案】【解析】设长方体过点的三条棱的长分别为，由已知条件得： ， ， ，从而，所以球的半径为，故答案为.考点2 空间几何体的直观图【2-1】【2018届山东省济南市一模】如图，在正方体中， 为的中点，则在该正方体各个面上的正投影可能是（ ）A B C D 【答案】B【2-2】在如图所示的直观图中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为_，面积为_ cm2.【答案】矩形8【解析】由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中
8、，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.【领悟技法】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：S直观图S原图形，S原图形S直观图【触类旁通】【变式1】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是()AB. C. D【答案】A【变式2】如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是() A正方形 B矩形 C菱形 D一般的平行四边形【答案】C【解析】将直观图还原得OABC，如图，ODOC2 (cm)，OD2OD4
9、 (cm)，CDOC2 (cm)，CD2 (cm)，OC6 (cm)，OAOA6 (cm)OC，故原图形为菱形综合点评：解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.考点3空间几何体的三视图【3-1】【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【3-2】【2018年理新课标I卷】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上
10、的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.【3-3】【福建省厦门市2018届二模】已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为，三视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】D【领悟技法】三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直
11、等结构特征，这些正是数据运算的依据.还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”. 简单几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线【触类旁通】【变式1】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()【答案】C【变式2】【安徽省示范高中（皖江八校）2018届第八联考】某棱锥的三视图如下图所示,则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A， 故三棱锥外接球的半径 ，表面积为.故
12、选A.【变式3】【2018届江西省南昌市二轮测试】如图为某几何体的三视图，主视图与左视图是两个全等的直角三角形，直角边分别为与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为_.【答案】【解析】由三视图还原几何体如图所示：该几何体还原实物图为三棱锥，为腰长为1的等腰三角形，平面，则，.最长边为故答案为.综合点评：三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽.即“长对正，宽相等，高平齐”.【易错试题常警惕】易错典例：一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥；四棱锥；三棱柱；四棱柱；圆锥；圆柱【错解】【
13、错因】忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选.【正解】三棱锥的主视图是三角形；当四棱锥的底面是四边形放置时，其主视图是三角形；把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的主视图是三角形；对于四棱柱，不论怎样放置，其主视图都不可能是三角形；当圆锥的底面水平放置时，其主视图是三角形；圆柱不论怎样放置，其主视图也不可能是三角形故正确答案为.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比
14、如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算如：【典例】【河南省2018年高考一模】已知三棱柱的底面是正三角形，侧棱底面ABC，若有
