《2019高考数学（理）二轮复习专题突破 第9讲 三角恒等变换与解三角形 word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019高考数学（理）二轮复习专题突破 第9讲 三角恒等变换与解三角形 word版含解析（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第9讲三角恒等变换与解三角形1.2018全国卷 在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC. 试做2.2017全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.试做3.2013全国卷 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.试做命题角度利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形的步骤:第一步,利用正
2、、余弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.利用公式SABC=12acsin B=12bcsin A=12absin C解决三角形面积问题的方法:若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式求得面积.求三角形面积的最值时,一般将面积表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.解答1三角形基本量的求解1 在ABC中,已知AB=27,C=6,点D在AC边上,且ADB=3
3、.(1)若BD=4,求tanABC;(2)若AD=3BC,求ABC的周长.听课笔记 【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图中标出来,然后确定转化的方向;第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化;第三步:求结果.【自我检测】已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+csin C=2asin C+bsin B.(1)求B;(2)若A=512,b=2,求a和c.解答2与三角形面积有关的问题2 已知
4、ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2bcos B=acos C+ccos A.(1)求B;(2)求ABC面积的最大值.听课笔记 【考场点拨】三角形面积的最值问题主要有两种解决方法:一是将面积表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示,结合角的范围确定三角形面积的最值.【自我检测】已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C.(1)求B;(2)若ABC的面积为334,且b=3,求a+c的值.解答3以平面几何为载体的解三角形问题3 如图M2-9-1所示,已知在ABC中,B=3
5、,BC=2.图M2-9-1(1)若AC=3,求AB的长; (2)若点D在边AB上,AD=DC,DEAC于点E,ED=62,求A.听课笔记 【考场点拨】解决以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分利用平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时,从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化到三角形中去求解;四是通过三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于等于3确定角或边的范围.【自我检测】已知ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,c=3.(1)求A;(2)若AD是BC边上的中线,AD=19
6、2,求ABC的面积.第9讲三角恒等变换与解三角形 典型真题研析1.解:(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADBAB,得ABDADB=3,故ABC=ABD+DBC3+6=2,所以cosABC=-1-sin2ABC=-2114,所以tanABC=sinABCcosABC=-533.(2)设CD=x,x0,则BC=3x,从而AD=3BC=3x,故AC=AD+DC=4x.在ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BCACcos6,因为AB=27,所以28=(3x)2+(4x)2-23x4x32
7、,解得x=2,所以AC=8,BC=23,故ABC的周长为AC+BC+AB=8+23+27.【自我检测】解:(1)由已知,根据正弦定理得a2+c2=2ac+b2.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,所以cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.因为B(0,),所以B=4.(2)由A=512,得sin A=sin6+4=sin6cos4+cos6sin4=2+64.由B=4,得C=-(A+B)=3,所以a=bsinAsinB=222+64=1+3,c=bsinCsinB=2232=6.解答2例2解:(1)由2bcos B=acos C+ccos A得2sin Bcos B
8、=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,因为B(0,),所以sin B0,故cos B=12,所以B=3.(2)方法一:由b=2,B=3,根据余弦定理可得ac=a2+c2-4,所以ac=a2+c2-42ac-4,所以ac4,当且仅当a=c时,等号成立,从而SABC=12acsin B12432=3,故ABC面积的最大值为3.方法二:因为asinA=csinC=bsinB=232=43,所以a=43sin A,c=43sin C,所以SABC=12acsin B=1243sin A43sin Csin B=433sin Asin23-A=233sin2A-6+
9、33,因为A0,23,所以当2A-6=2,即A=3时,SABC取得最大值,最大值为3,故ABC面积的最大值为3.【自我检测】解:(1)A+B+C=,即C+B=-A,sin(C+B)=sin(-A)=sin A.(2a-c)cos B=bcos C,由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(C+B)=sin A.在ABC中,0A0,cos B=12.又0B0),则在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即32=22+x2-2x2cos3,所以x=6+1,即AB
10、=6+1.(2)因为ED=62,DEAC,所以AD=DC=EDsinA=62sinA.在BCD中,由正弦定理可得BCsinBDC=CDsinB,因为BDC=2A,所以2sin2A=1sinAcosA=62sinAsin3.因为A(0,),所以sin A0,所以cos A=22,所以A=4.【自我检测】解:(1)由正弦定理及2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,得bsin B-asin A=bsin C-csin C,即b2-a2=bc-c2,cos A=b2+c2-a22bc=12,A(0,),A=3.(2)以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC,则在ABE中,ABE=23,AE=19.在ABE中,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2ABBEcos23,即19-9=AC2-23AC-12,AC=2,即b=2,故SABC=12bcsin A=122332=332.备选理由 三道备用例题都是利用正、余弦定理解三角形问题,涉及三角形中的边、角、面积以及使用基本不等式求最值.例1配例1使用 在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosAa+cosBb=23sinC3a.(1)求B;(2)若ABC的面积为32,B是钝角,求b的最小值.解:(1)由题意得bcos A+acos B=233bsin C,由正弦定理得sin Bco
