《高中数学 第二章 平面向量 2_3_4 平面向量共线的坐标表示课件3 新人教a版必修41》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 平面向量 2_3_4 平面向量共线的坐标表示课件3 新人教a版必修41（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示,平面向量共线的坐标表示 (1)条件：a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中_. (2)结论：当且仅当_时，向量a，b(b0)共线.,b0,x1y2-x2y1=0,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab等价于 ( ) (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab等价于x1y2=x2y1.( ) (3)向量a=(1,2)与向量b=(-3，-6)是共线向量且同向.( ),【解析】(1)错误.当x2=0或y2=0时, 没有意义,等式不 成立.只有当x20,y20时等式才成立,故(1)错误. (
2、2)正确.根据两向量共线的坐标表示知正确. (3)错误.因为1(-6)-2(-3)=0,且(1,2)= (-3， -6)，即= 0，故向量a与b共线且反向. 答案：(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知A(2,1),B(3,1)，写出一个与 平行且方向相反的 向量a=_. (2)已知a=(-6,2)，b=(m,-3)，且ab，则m=_. (3)已知A(1，2)，B(4，5)，若 则点P的坐标为_.,【解析】(1)因为 =(1，2)，则与 平行且方向相反的向量 a= ，且0，即a=(1,2).则当=-1时，a=(-1,-2).故 取不同的值时，a不同. 答案：
3、(-1,-2)(答案不唯一) (2)因为ab，所以-6(-3)-2m=0，解得m=9. 答案：9,(3)设P(x,y)， 则 =(x-1,y-2)， =(4-x,5-y). 又 所以 解得 答案：(3，4),【要点探究】 知识点 平面向量共线的坐标表示 1.剖析两个向量共线条件的表示方法 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2), (1)当b0时,a=b. 这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.,(2)x1y2x2y1=0. 这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”,从而减少未知数个数,而且使问题的解决具有代数化的特点,程序化的特征. (3)当x2y20
4、时, 即两向量的相应坐标成比例,通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.,2.三点共线的坐标表示 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线，则有 即(x2-x1，y2-y1)=(x3-x2，y3-y2)，所以(x2-x1)(y3-y2)=(x3- x2)(y2-y1)，或由 得到(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2- y1)，或由 得到(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1).当这 些条件中有一个成立时，A，B，C三点共线.,【微思考】 (1)对于两个非零平行向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，如何根据 向量的
5、坐标判断两个向量的方向是相同的还是相反的？ 提示：根据向量的坐标，由(x1，y1)=(x2，y2)，当0时， 两向量的方向相同；当0时，两向量的方向相反. (2)两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)平行的条件x1y2-x2y1=0与 有什么区别吗？ 提示：x1y2-x2y1=0对任意两个向量平行时都满足，具有一般 性；而 只对x20且y20时，成立.,【即时练】 1.若向量a=(1，2)，b=(2，3)，则与a+b共线的向量可以是 ( ) A.(2，1) B.(-1，2) C.(6，10) D.(-6，10) 2.已知向量a=(-2，3)，ba，向量b的起点为A(1，2)，终点B 在
6、坐标轴上，则点B的坐标为 .,【解析】1.选C.因为a+b=(1,2)+(2,3)=(3,5).所以310-56=0， 所以(6,10)与a+b是共线的向量. 2.由ba，可设b=a=(2,3). 设B(x,y)，则 =(x1,y2). 由 得 而B在坐标轴上， 所以12=0或3+2=0，故 或 答案： 或,【题型示范】 类型一 利用向量共线的坐标表示求参数值 【典例1】 (1)向量a=(1，2)，b=(x，1)，c=a+b，d=a-b，若cd，则实数x= . (2)若a=(1，2)，b=(-3，0)，(2a+b)(a-mb)，则m= .,【解题探究】1.题(1)中向量c，d的坐标怎样求出？
7、2.题(2)中求m值的关键是什么？ 【探究提示】1.利用向量加减法的坐标表示，将向量a，b的坐标代入求向量c，d的坐标. 2.求m值的关键是根据向量平行列方程求解.,【自主解答】(1)因为向量a=(1，2)，b=(x，1)， 所以c=a+b=(1+x，3)，d=a-b=(1-x，1). 因为cd，所以1+x-3(1-x)=0. 解得x= . 答案：,(2)因为a=(1，2)，b=(-3，0)， 所以2a+b=(-1，4)，a-mb=(1+3m，2). 由于2a+b与a-mb平行， 得-12-4(1+3m)=0， 解得m=- . 答案：-,【延伸探究】若题(1)中向量a，b改为“a=(1，1)，
8、b=(2，x)”，则结果如何？ 【解析】由题意可得c=a+b=(3，x+1)， d=a-b=(-1，1-x)， 因为c与d平行， 所以3(1-x)-(x+1)(-1)=0， 解得x=2.,【方法技巧】由向量平行求参数的值的方法,【变式训练】1.(2014常德高一检测)已知两个不等的向量a=(2，3m)，b=(m，6)，若ab，则实数m= ( ) A.2 B.-2 C.2 D.0 2.(2014许昌高一检测)已知向量a=(1，2)，b=(1，0)，c=(3，4).若为实数，(a+b)c，则= .,【解析】1.选B.因为向量a=(2，3m)，b=(m，6)，若ab，则 26-3m2=0，解得m=2
9、.当m=2时，a=b，不适合，故m=2舍去. 2.由题意得(a+b)=(1+，2)，而(a+b)c，所以(1+) 4-32=0，解得= . 答案：,【补偿训练】已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 . 【解析】因为a=(1，2)，b=(x，1)， 所以a+2b=(1+2x，4)，2a-b=(2-x，3). 又因为a+2b与2a-b平行， 所以3(1+2x)-4(2-x)=0，解得x= . 答案：,类型二 向量共线解决三点共线 【典例2】 (1)已知A(1，-3)， 且A，B，C三点共线，则点C的坐标 可以是( ) A.(-9，1) B.(9，-1) C.(9
10、，1) D.(-9，-1) (2)已知A(-1， -1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7) ，向量 与 平行吗？直线AB平行于直线CD吗？,【解题探究】1.题(1)中由A，B，C三点共线会得到哪些向 量平行？ 2.题(2)中向量 与 平行，一定可以推出直线AB平行于直 线CD吗？反之，直线AB平行于直线CD一定可以推出向量 与 平行吗？ 【探究提示】1.以A，B，C三点中任意两点为端点的两个向量 平行. 2.若向量 与 平行，则直线AB与直线CD平行或重合.直线 AB平行于直线CD一定可以推出向量 与 平行.,【自主解答】(1)选C.设点C的坐标是(x,y)， 因为A，B，C三点共线，
11、 所以 因为 =(x，y)-(1，-3)=(x-1，y+3)， 所以7(y+3)- (x-1)=0， 整理得x-2y=7, 经检验可知点(9，1)符合要求,故选C.,(2)因为 =(1(1)，3(1)=(2，4), =(21，75)=(1，2). 又因为2241=0, 所以 又因为 =(1-(-1)，5-(-1)=(2，6), =(2， 4)，所以24-260 , 所以A，B，C不共线, 所以AB与CD不重合,所以ABCD.,【方法技巧】三点共线的条件以及判断方法 (1)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则A，B，C三点共线 的条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-
12、x1)(y2-y1)=0. (2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法： 直接利用上述条件，计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)是 否为0； 任取两点构成向量，计算出两向量如 再通过两向量 共线的条件进行判断.,【变式训练】(2014洛阳高一检测)若三点A(2,2),B(a,0), C(0,b)(ab0)共线，则 的值等于_. 【解题指南】由三点的坐标以及三点共线，可得以其中任意两 点为端点的两向量共线，由此得到关于a和b的关系. 【解析】 =(a2,2), =(2,b2)，依题意，有(a 2)(b2)4=0，即ab2a2b=0，所以 答案：,【补偿训练
13、】已知三点A(1,2),B(2,3),C(x,4)共线,则实数x=_. 【解析】因为点A(1,2),B(2,3),C(x,4)共线，所以 共线，又 =(3,1), =(x+1,2)，所以32(x+1)=0，故 x=5. 答案：5,拓展类型 向量共线的综合应用 【备选例题】(1)(2014韶关高一检测)已知O是平面上一定 点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足 0,+)，则点P的轨迹一定通过ABC的( ) A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 (2)ABC的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c，设向量 p=(a+c,b),q=(b,ca)，若pq，则角C的大小为( ),【解析
14、】(1)选D.设 则可知四边形BACD是平行四 边形，而 表明A,P,D三点共线.又D在BC的中线所在直 线上，于是点P的轨迹一定通过ABC的重心. (2)选C.因为pq，所以(a+c)(ca)bb=0，即c2=a2+b2， 所以C= .,【方法技巧】应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤,【规范解答】利用向量共线的坐标表示求解问题 【典例】(12分)(2014怀化高一检测)在ABC中,已知点 O(0,0),A(0,5),B(4,3), AD与BC交于点M, 求点M的坐标.,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升 失分点1：解题过程中，若不能根据共线向量定理在
15、处正确得出两点的坐标，将造成不得分. 失分点2：在解题过程中，若不能根据题意得到处的结论，则造成无法继续求解，考试过程中，最多给3分. 失分点3：解题过程中，若未能根据向量共线的坐标形式正确得到，则考试过程中最多给5分.,【悟题】提措施，导方向 1.向量的坐标运算 解题时,准确地计算有关向量的坐标,是正确答题的前提,如本例,只有正确地求出相应向量的坐标,才能顺利地完成解题.,2.共线向量的坐标运算 解题时,两向量共线的坐标运算是解决三点共线的关键,如本例,对两向量共线的坐标运算掌握不熟练将造成本题错解. 3.方程思想的应用 在求点或向量的坐标中要注意方程思想的应用,如本例,充分应用向量共线、向量相等条件作为列方程的依据,是解题的保证.,【类题试解】(2014临沂高一检测)已知点A(4,0),B(4,4), C(2,6),O(0,0),求AC与OB交点P的坐标. 【解析】设点P(x,y),则 =(x,y), =(4,4), 因为P,B,O三点共线,所以 所以4x-4y=0.,又 =(x,y)-(4,0)=
