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1、3.2.2 一元二次不等式及其解法的应用,二次函数的图象、一元二次方程的解、一元二次不等式的解集之间的关系,练一练1 已知a0恒成立,则a的范围是 . 解析:由已知得=4-4a1. 答案:(1,+),探究一,探究二,探究三,探究一不等式恒成立的问题 1.关于x的不等式f(x)0(0)对于x在某个范围内的每个值不等式都成立,即为不等式在这个范围内恒成立. 2.一元二次不等式恒成立的类型及解法. 设f(x)=ax2+bx+c(a0). (1)f(x)0在xR上恒成立 (2)f(x)0在xR上恒成立,探究一,探究二,探究三,(3)a0时,f(x)0在区间,上恒成立 (5)分离参数,将恒成立问题转化为
2、求最值问题,即: kf(x)(kf(x)恒成立kf(x)max(kf(x)max);kf(x)(kf(x)恒成立kf(x)min(kf(x)min).,探究一,探究二,探究三,典型例题1 设函数f(x)=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围; (2)对于x1,3,f(x)-m+5恒成立,求m的取值范围. 解:(1)要使mx2-mx-10恒成立,若m=0,显然-10. 综上可知,m的取值范围是(-4,0.,探究一,探究二,探究三,(2)(方法一)要使f(x)0时,g(x)在1,3上是增函数, g(x)max=g(3)=7m-60.0m 当m=0时,-60恒
3、成立. 当m0时,g(x)在1,3上是减函数, g(x)max=g(1)=m-60,即m6,m0. 综上可知,m的取值范围是,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,方法总结 有关不等式恒成立求参数的取值范围,通常考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式;若参变量不能分离,则应构造关于参变量的函数(如一次或二次函数),转化为求函数的最值.,探究一,探究二,探究三,变式训练1若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40的解集为R,求实数a的取值范围. 解:当a-2=0,即a=2时,原不等式为-40, 综上可知,a的取值范围为(
4、-2,2.,探究一,探究二,探究三,探究二含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式,与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的,但要注意分类讨论思想的运用.如二次项系数含有参数时,应首先对二次项系数进行大于零、小于零、等于零分类讨论;当二次项系数不等于零时,再对其判别式进行大于零、小于零、等于零分类讨论;当判别式大于零时,再对两根的大小进行比较讨论,最后确定解集.,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,规律总结 解含参数的一元二次不等式,一般从三个方面进行讨论:二次项系数;判别式;两根的大小.,探究一,探究二,探究三,变式训练2解关于x的不等式x
5、2-ax-2a2-a,即a0时,不等式的解集为x|-a0时,原不等式的解集为x|-ax2a;当a=0时,原不等式的解集为;当a0时,原不等式的解集为x|2ax-a.,探究一,探究二,探究三,探究三一元二次方程根的分布与二次函数之间的关系,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,典型例题3 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的取值范围. 思路分析:根据一元二次方程根的分布,结合二次函数的图象(画出草图),求出m的取值范围.,探究一,探究二,探究三,解:设f(x)=x2+2mx+2m+1,由条件知抛
6、物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴交点的横坐标分别在区间(-1,0)和(1,2)内,画出示意图如图,变式训练3已知关于x的方程x2-2tx+t2-1=0的两实根介于(-2,4)之间,求t的取值范围. 解:令f(x)=x2-2tx+t2-1. x2-2tx+t2-1=0的两实根介于(-2,4)之间, 故-1t3,即t的取值范围为(-1,3).,探究一,探究二,探究三,1 2 3 4 5,1.若不等式x2+mx+ 0的解集为R,则实数m的取值范围是( ) A.m2 B.m2 D.0m2 解析:由题意得=m2-4 0, 即m2-2m0,解得0m2. 答案:D,1 2 3 4 5,1 2 3
7、4 5,3.若关于x的一元二次方程x2-(t+2)x+ =0有两个不相等的实数根,则实数t的取值范围是 . 解析:实数t的取值满足=-(t+2)2-90,解得t1. 答案:(-,-5)(1,+),1 2 3 4 5,4.某地每年销售木材约20万m3,每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少 t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是 . 解析:设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,则y=2 令y900,即60(8t-t2)900,解得3t5. 答案:3,5,1 2 3 4 5,5.解关于x的不等式:x2+(1-a)x-a-1时,原不等式解集为x|-1xa.,
