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1、（一）往返运动平均速度公式：V 均=(2v1*v2)/(v1+v2) 往返运动平均速度公式： 往返运动平均速度公式 （二）沿途数车问题核心公式：发车的间隔时间 T=S/v 车2t1t2/（t1+t2） 车速和人速的比 N=v 车/v 人（t1+t2）/（t2-t1） “漂流瓶 问题核心公式 漂流所需时间 T=S/V 水2t 逆 t 顺/（t 逆-t 顺） 漂流瓶”问题核心公式 漂流瓶 （三）碰到车数问题（不算之前就在路上的有 1 辆甲出时乙出的+（60/6-1 辆甲到时乙出的） 碰到车数问题（=10 辆，从甲站出来时路上已有 60/6-1 辆甲出时乙到的=9 辆，所以共 19 辆）（四）相遇、
2、追及问题： 相遇、追及问题 A.两辆汽车分别从 A、B 两站同时出发，第 n 次相遇两人就一共走了2n-1个全程。 B.第一、两次相遇公式：单岸型 S=(3S1+S2)/2 ;两岸型 S=3S1-S2 ,遇地点距离 X=S- S1-S2 =2*S1-2*S2（五）1、变速往返接人 变速往返接人： a/V 人=(S-2a)/V 车+（S-a）/V车 车） （车速不变则 V 车=V两次相2、多次往返接人：所有人分成 m 拨 即 a=2S/（2m-1+n）,步行距离=（m-1)a3、车速不变往返接人题型(两拨人)：a=2S/（3+n），n=V 车：V 人（a 为步行距离）容斥定理M=X+Y+Z-a-
3、b-c+m（其中 X 与 Y 与 Z、Z 与 X 重叠部分的面积依次是 a、b、c） M=X+Y+Z-（a+b+c-3m）-2m=X+Y+Z-a-b-c+m最不利原则解题:（总的思想：先算每次没过的，考虑最不利的情况） 最不利原则解题 （三、组合问题（一）排列组合两个恒等公式的利用1、C（n，0）C（n，1）C（n，2）C（n，n）2n 2、C（m，n）C（m，n1）C（m1，n1）（二）对称原理的应用 （三）环形排列：需要一人坐下来作为参照位置，再对剩下的 N-1 人进行全 环形排列：排列。 （四）难题巧解 N 人传接球 M 次公式：次数=(N-1)M/N ，最接近的整数为末次传他人次数，第
4、二接近的整数为末次传给自己的次数（五）特殊方法解题4、错位重排：a(n)=n*a(n-1)+(-1)n 、错位重排：前几个数字是0、1、2、9、44、265，5、间隔问题：要想使3盆红花互不相邻，只能是放在4盆黄花形成的空里，4盆黄花有5 、间隔问题：5 4 3 = 10 。 3 2 1 排列组合之“捆绑法” 插空法” 插板法” 6、排列组合之“捆绑法”、“插空法”、“插板法”（4 个不同的球放入 3 个不同3 个空，从中任意拿3个空来放红花即可，即 C 5 =的盒子中， 子中， 记得先选两个球捆绑再分到 3 个盒子中， 免得重复 C(4,2） 子中 每个盒子至少一个球， 每个盒子至少一个球，
5、 *P（3,3） 例题 9学校准备了 1152 块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？ （ ）A12 B14 C15 D16 解析：1152=27*32，则(7+1)*(2+1)/2=12（2选 0 个7 个 8 种选择、3 有 3 种， 考虑长宽对调的情况，所以除以 2）六 、过 河 问 题来回数=（总量-可乘数）/（可乘数-1）*2+1=2*（总量-1）/（可乘数-1）-1 次数=（总量-可乘数）/（可乘数-1）+1=（总量-1）/（可乘数-1）八 、比 赛 场 次 问 题（1）淘汰赛：仅需决出冠、亚军，比赛场次N1 需决出第1、2、3、4名 ，比赛场次N （2）循环赛
6、：单循环（任意两个队打一场比赛） ，比赛场次C（N，2）=N(N-1)/2 双循环（任意两个队打两场比赛） ，比赛场次=P（N, 2）=N(N-1) 如果参加的队数是偶数，则比赛轮数为队数减1。例：8个队参加比赛，比赛轮数为8-1=7轮。 如果参加的队数是奇数，则比赛轮数等于队数。 例：5个队参加比赛，比赛就要进行5轮。九、统 筹 问 题（二）货物装卸问题如果有 M 辆车和 N（NM）个工厂，所需装卸工的总数就是需要装卸工人数最多的 M 个 工厂所需的装卸工人数之和。 （若 MN，则把各个点上需要的人加起来即答案）（四）货物集中问题解析：从中间开始分析，丙、丁之间（5+7+10）(12+8)”
7、 应该往左流动；选择丁村。 ，十一、 十一、鸡兔同笼的变式公式： （贵的*总数-总价）/（贵的-贱的）=贱的数目十二、 十二、时 钟 问 题A.基本的公式：在初始时刻需追赶的格数（1112）=追及时间（分钟） ，分针走一分钟（转6度）时，时针走0.5度，分针与时针的速度差为5. 5度/分钟 5. 5度B.当已知原来两针的间隔度数及要形成夹角的度数时，有公式：两针达到要形成夹角度数所需时间（分钟）=（原来两针的间隔度数要形成夹角的度数）（6-0.5） 。C.每分钟时针比分针少走11/12格。例1：现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？ ： 析：2点时，时针在第10格位置，分针处于第0格，相差
8、10格，则需经过10 / （11/12）分钟 的时间。 例2：中午12点，时针与分针完全重合，那么到下次12点时，时针与分针重合多 ： 少次？ 时针与分针重合后再追上， 只可能分针追及了60格， 追及一次耗时60 / （11/12 ） 720/11 析： 分钟，而12小时能追及12*60/（ 720/11)=11次，第11次时，时针与分针又完全重合在12点。十三、 十三、页 码 问 题一、页码为一位数用1-9页码，用9个数字；页码为两位数用10-99页码，用180个数字；三 位数100-999页码，用2700个数字 二、关于含 关于含“1”的页数问题，总结出的公式就是：总页数的 1/5，再加上
9、 100。 的页数问题， 的页数问题 总结出的公式就是： ， 。十四、 十四、抽屉原理1、 按自然数列分放， 那么 14 个房间需要 105方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数4）1 3方阵外一层每边比内一层多 2 ,每层人数比内一层多 8 4去掉一行、一列的总人数去掉的每边2-1（二）栽树核心公式1、线性栽树：全长=间隔（棵数-1） 2、环形栽树：全长=间隔棵数3、间隔思想 ：时钟敲 4 下，其间有 3 个间隔，每个间隔是 12/3=4 秒 “每隔 9 天”也即“每 10 天” 所以实际上是求 10，12，8 的最小公倍数。 ，二十二、 二十二、 年龄 问 题设爸爸、哥哥现在年龄分别为：x
10、、y 则当哥哥 9 岁时爸爸 x-(y-9)岁。二十三、 二十三、自然数 N 次方的尾数变化情况2、3、7、8 以 4 为周期；4、9 以 2 为周期；1、5、6 以 1 为周期。 例：8n 是以“4”为周期进行变化的，分别为 8，4，2，6， 8，4，2，6 方法 2：2x=2（x+4n）， ），4x=4（x+2n） （ ）， （ ）二十五、 二十五、剪 绳问 题将一根绳子连续对折三次，然后每隔一定长度剪一刀，共剪 6 刀。问这样操作后，原来的 绳子被剪成了几段?( )A 18段 B 49段 C 42段 D 52段公式：2n*m+1（一根绳连续对折 N 次，再剪 M 刀）二十七、 二十七、拆
11、 数 求 积 问 题尽量拆成 3 和 2（3 越多乘积越大）二十八、余同加余，和同加和，差同减差， 二十八、余同加余，和同加和，差同减差，公倍数作周期 余同： “一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1” ，则取1，表示为60n+1 和同： “一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1” ，则取7，表示为60n+7 差同： “一个数除以 4 余 1，除以 5 余 2，除以 6 余 3” ，则取 3，表示为 60n-3三十、 三十、几 何 问 题（一）圆分割平面公式n 个圆最多分得平面数：n2-n+2 n 条直线最多把平面分成几个区域：n(n+1)/2+1 例题：3 条直线最多能将平面分成几部分？
12、（7）（二）割补法：阴影部分可拼成一条对角线长为16的正方形。如图，故面积是 割补法：16162=128。 （把正方形看成两个高等于半径底边等于直径的三角形，求面积更简单）(三)常用几何性质球：表面积：4r2体积：4/3r313+23+.+N3=(1+2+3+.+N)2。12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)/6 。三十二、 三十二、 一些数学性质应用（一）整除特性1、末两位数字组成的两位数能被 4 整除的整数必能被 4 整除 2、末三位数字组成的三位数能被 8 整除的整数必能被 8 整除 3、一个三位以上的整数能否被 7（11 或 13）整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位 数
13、与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被 7（11 或 13）整除 4、各个数位上数字之和能被 9 整除的整数必能被 9 整除 5、一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果能被 11 的整除，那么它能被 11 整除（二）数学公式等比数列和公式：Sn=a1(1-qn)/(1-q) 例题 1：计算 1/43/87/1615/3231/6463/128127/256255/512511/1024=？ 解析原式=1/2-1/41/2-1/81/2-1/1024=41/1024=4(1/1024)。（三)韦达定理 韦达定理一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0 且=b2-4ac0)
14、 X1*X2=c/a 设两个根为 X1 和 X2，则 X1+X2= -b/a二次函数的性质： (四）二次函数的性质：1.抛物线对称轴为直线 x = -b/2a。 2.抛物线顶点 P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a ) 当-b/2a=0 时，P 在 y 轴上；当 = b2-4ac=0 时，P 在 x 轴上。 3.当 a0 时，抛物线向上开口；a0 时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.a 与 b 同号（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右。 5.抛物线与 y 轴交于（0，c） 6.= b2-4ac0 时，抛物
15、线与 x 轴有 2 个交点。= b2-4ac=0 时，与 x 轴有 1 个交点。(五）增长率1.“从 2004 年到 2007 年的平均增长率”一般表示不包括 2004 年的增长率； 2.“2004、2005、2006、2007 年的平均增长率”一般表示包括 200年的增长率。 两年混合增长率公式： 如果第二期与第三期增长率分别为 r1 与 r2，那么第三期相对于第一期的增长率为： r1r2r1 r2 增长率化除为乘近似公式： 如果第二期的值为 A，增长率为 r，则第一期的值 A： AA/（1r）A（1-r）（实际上左式略大于右式，r 越小，则误差越小，误差量级为 r ） 平均增长率近似公式： 如果 N 年间的增长率分别为 r1、r2、r3rn，则平均增长率： rr1r2r3rn/n （实际上左式略小于右式，增长率越接近，误差越小）
