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1、同时应当为侨商归国工作、创业和生活提供更加便捷、适宜的环境，使得侨商归国后能够安心并专心于事业发展，提高海外高层次人才回国创新创业的热情2.3.1平面向量基本定理1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(重点)2.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义.(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角.(易混点)基础初探教材整理1平面向量基本定理阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题.1.定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2.基底：不共线的向量e1，e2叫做
2、表示这一平面内所有向量的一组基底.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量.()(3)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd.()(4)基底向量可以是零向量.()【解析】(1)错误.根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底.(2)正确.根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示.(3)错误.当e1与e2共线时，结论不一定成立.(4)基底向量是不共线的，一定
3、是非零向量.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2两向量的夹角与垂直阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题.1.夹角：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角(如图231所示).图231(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0180.(2)当0时，a与b同向；当180时，a与b反向.2.垂直：如果a与b的夹角是90，我们说a与b垂直，记作ab.如图232，在ABC中，的夹角与，的夹角的关系为_.图232【解析】根据向量夹角定义可知向量，的夹角为BAC，而向量，夹角为BAC.故二者互补.【答案】互补小组合作型用基底表示向量(1)已知AD是ABC的BC边上的中线，
4、若a，b，则()A.(ab)B.(ab)C.(ab) D.(ab)(2)如图233，设点P，Q是线段AB的三等分点，若a，b，则_，_.(用a，b表示)图233【精彩点拨】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.【自主解答】(1)如图所示，因为2，所以(ab).(2)()ab，()ab.【答案】(1)D(2)abab平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向
5、量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.再练一题1.已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，b，用a，b表示，.图234【解】a(ba)ab；(ba)ab；a(ba)ab.向量的夹角问题(1)已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，cab，ca，则a，b的夹角等于_.(2)若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角.【精彩点拨】可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决.【自主解答】(1)作a，b，则cab(如图所示)，则a，b夹角为180C.|a|1，|b|2，ca，C60，a，b的夹角为120.【答案】120(2)由向量运算的几何
6、意义知ab，ab是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线.如图，|a|b|ab|，BOA60.又ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，a与ab的夹角是30.两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决.(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.再练一题2.已知|a|b|2，且a与b的夹角为60，则ab与a的夹角是_，ab与a的夹角是_. 【导学号：00680045】【解析】如图所示，作a，b，则AOB60，以OA，OB为邻边作OACB，则ab，a
7、b，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60ABC，即ab与a的夹角为60.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB，所以COA906030，即ab与a的夹角为30.【答案】3060探究共研型平面向量基本定理的综合应用探究1若存在实数1，2，1，2及不共线的向量e1，e2，使向量a1e12e2，a1e12e2，则1，2，1，2有怎样的大小关系？【提示】由题意1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2，由于e1，e2不共线，故11，22.探究2在向量等式xy中，若xy1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？【提示】三点P，A，B在同一直线上.在向量
8、等式xy中，若xy1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则xy1.如图235所示，在OAB中，a，b，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点.若OM与BN相交于点P，求. 【导学号：70512030】图235【精彩点拨】可利用t及s两种形式来表示，并都转化为以a，b为基底的表达式.根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而求得.【自主解答】A()ab.因为与共线，故可设tab.又与共线，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.1.任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a
9、2e12e2结论2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解.再练一题3.如图236所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于E，设a，b，试用基底a，b表示向量.图236【解】易得b，a，由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)an
10、a(1n)b，由于a，b为基底，所以解之得所以ab.1.已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.，B.，C.， D.，【解析】由于，不共线，所以是一组基底.【答案】D2.已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A.不共线 B.共线C.相等 D.不确定【解析】ab3e1e2，c2(ab)，ab与c共线.【答案】B3.如图237，在矩形ABCD中，若5e1，3e2，则()图237A.(5e13e2) B.(5e13e2)C.(3e25e1) D.(5e23e1)【解析】()()(5e13e2).【答案】A4.在
11、锐角ABC中，下列说法正确的是()A.与的夹角是锐角B.与的夹角是锐角C.与的夹角是钝角D.与的夹角是锐角【解析】由两向量夹角定义知，与的夹角是180B，与的夹角是A，与的夹角是C，与的夹角是180C，只有B正确.【答案】B5.已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.【解】a，b不共线，可设cxayb，则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又e1，e2不共线，解得ca2b.中国就走上了一条高速发展的复兴之路。中国的科技进步能够取得如此巨大的成就，都要归功于改革开放。东西方文明因改革开放而交流碰撞，而我的创业之路因改革开放而扬帆起航。
