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1、系统稳定性的频域判据,(第五章）,劳斯判据的不足：, 不能对改善系统稳定性给出提示, 必须知道系统的闭环传递函数,Nyquist稳定判据,根据开环频率特性判断闭环稳定性, 定性不能从量上判断系统的稳定程度 对含有延迟环节的系统无效,a 为复数,F(s) = s a C 为顺时针方向,s F(s) 1. F(s) = s a,s,Re,Im,O,a,C,F,Im,O,F(s) = s a,如果 C 包围 a ，则 C 顺时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C不包围原点。 如果 C 经过 a ？,C,1 s a,Re,Im,O,F F(s) =,1 s a,2.F(s) =,C,F(s)
2、 =,1 s a,Re,Im,O,Re,Im,O,F F(s) =,1 s a,如果 C 包围 a ，则 C 逆时针包围原点1圈； 如果 C 不包围 a ，则C不包围原点。,F(s) =(s a1)(s a2),(s az),s,Re,Im,O,C,Re,Im O,F C ?,顺时针绕原点1圈，角度增量 2 C包围z个零点，C绕原点 顺时针z圈,(s ap),1 (s a1)(s a2) s Re,F(s) = Im O,C,F,Re,Im O,C ?,C包围1个极点，C 逆时针绕原点1圈 C包围p个极点，C绕原点 逆时针p圈,F(s) =,(s a1)(s a2) (s am) (s a1)
3、(s a2) (s an) F(s)有m个零点，n个极点， 在s平面上的C顺时针包围了 其中z个零点和p个极点， 则在F平面上的C顺时针包围原点 z p圈。 映射定理,B1(s),A 1(s),A (s) B1(s)A2(s),B1 2( ),( )B s,A 1 2 1 2(s),(s)A (s)+ B (s)B,1+,反馈控制系统,G(s) = , H(s) = 开环传递函数,1,B2(s) A2(s) G(s)H(s) =,G(s),H(s) B1(s)B2(s) A (s)A2(s),1,B1(s) = = s A (s)A2(s),闭环传递函数 G(s) 1+G(s)H(s),(s)
4、 A (s)+ B (s)B (s) =1+ B (s)B,闭环稳定 闭环传递函数右极点个数为0 B1(s)A2(s) A 1(s)A2(s)+ B1(s)B2(s) 右零点个数为0,A 1 2 1 2 1 2(s) A 1(s) A2(s) A 1(s) A2(s),=1+G(s)H(s),顺时针绕s右半平面的曲线，经过 F(s) =1+G(s)H(s) 的映射， 逆时针包围原点的圈数 = 开环右极点个数,j,R =,F(s) =1+G(s)H(s) F ,-1 j F (s) = G(s)H(s) F(s)包围原点的圈数 = F (s)包围-1点的圈数,Nyquist稳定判据,如果开环传递
5、函数的Nyquist图逆时针包围 (1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数P， 则系统稳定。,充要条件,开环传递函数G(s)H(s)在s右半平面上有P个极点，当由-变化到+时，GH平面上的开环频率特性G(j)H(j)逆时针包围(-1, j0)点P圈，则闭环系统稳定。,闭环系统稳定的充要条件：,当取值由+时，其开环G(j)H(j)轨迹必须逆时针包围(1, j0)点P次，否则就不稳定。,P开环G(s)H(s)在平面s右半部的极点个数。,Imaginary Axis,G(s)H(s) =, K = 20,K (s+1)(s+2)(s+6),Imaginary Axis,Imaginary Axis,
6、G(s)H(s) =, K = 200,K (s+1)(s+2)(s+6),G(s)H(s) =,8 (s1)(s+2)(s+3),Imaginary Axis,例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?,-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,-1,1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8,Real Axis,Nyquist Diagram O,K Ts+1 只要 K0 ，稳定,K,例:下图所示反馈控制系统，K为何值时稳定?,-1.5,-1,-0.5,0,-1,1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2
7、 -0.4 -0.6 -0.8,Nyquist Diagram,Real Axis,Ts1 K1，稳定。,例:某反馈控制系统开环传递函数为,G(s) =,K s(0.1s+1)(0.05s+1),判断当K=10和40时的稳定性,对虚轴含有极点情况的处理：, j,R =,O,j,re,+, 0, 0,D,如果开环传递函数在虚轴上有极点或零点， j j, j,当由0变到0时，开环轨迹将顺时针方向从 转到,，中间经过一个半径为无穷大的圆弧。,对于最小相位系统,对于非最小相位系统,当由0变到0时，开环轨迹将顺时针方向从 转到,如已知最小相位系统的开环传递函数为,绘制系统的奈奎斯特图,绘制开环轨迹的一些
8、问题：,1. 镜像对称原理：当由值由 变到+ 时， G(-j)H(-j )与G(j)H(j )的幅值相同而幅角相异。 当由0与0所确定的开环轨迹是依实轴而对称的。,2. 幅角的确定 计算幅角时，一定要将复数的虚部与实部正、负号考虑进去，以便确定其所在的象限。,乃氏图的负频段对称原理, = +的乃氏图,令 从 增长到 0 ，,相应得出的乃氏图是,与从 0 增长到 +,得出的乃氏图以实轴 对称的，例如图4-24 所示的乃氏图。,G(j)= 90arctan()arctan(2) 当 = 0+ 时， G(j)= +90 当 = +时， G(j)= 0270 其相角范围从-90-270，因此必有与负实
9、轴的交点。,例,即,两边取正切，得,所以曲线与负实轴交点的频率为,该交点距原点的距离为,解方程G(j)= 90arctan()arctan(2) = 180,arctan(2) = 90arctan(),1 ,2=,当 = 0 + 时， G(j)= +90 当 = +时， G(j)= 0270,-0.67,例:某反馈控制系统开环传递函数为,G(s) =,K s(0.1s+1)(0.05s+1),判断当K=10和40时的稳定性,令,G(j)= 90arctan()arctan(2) = 180,所以曲线与负实轴交点的频率为,对数频率特性的乃氏判据,系统稳定的充要条件是：在开环波德图上L()0dB
10、的所有频段内，相频特性曲线()在-180线上正负穿越次数之差等于P/2。P为开环右极点数，如果P=0，则正负穿越次数应相等。,如果恰在L()0dB处相频曲线穿过180线，系统临界稳定。,在波德图上， L()0dB下的相频曲线自下而上穿过-180线是幅角增大为正穿越，反之，为负穿越。,判断下图系统的稳定性,例,Imaginary Axis,Imaginary Axis,G(s) =,10 s(0.1s+1)(0.05s+1) 0,-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,-0.5 -1,1 0.5 0,Nyquist Diagram,Real Axis 0+,Imaginary Axis
11、,G( ) = +e j,re,j 10 re j G(re j) = 90 0 90,s =re j = 90090 0,j 0+ j 开环没有右极点，乃氏图不包围(-1,j0)， 稳定,Imaginary Axis,G( ) = +e j,re,j 10 re j G = 270 180 90, 0+,s =re j = 27018090 0,开环右极点有1个，乃氏图逆时针包围 (-1,j0)1圈，稳定,Re,Im,O,-1,0+,0-,s,Re,Im,O,D,j, j,Imaginary Axis,Imaginary Axis,G(s) =,40 s(0.1s+1)(0.05s+1) O 从原点右边绕，开环右极点个数为0； 乃氏图顺时针包围(-1,j0) 2 圈，不稳定,Imaginary Axis,( ) ( ) G s H s =,4(0.05s+1),s2(0.3s+1)(0.05s2 +0.2s+1),例：某系统开环传递函数为,
