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1、1.1.1 正弦定理,1.了解正弦定理的推导过程,掌握正弦定理及其变形. 2.能用正弦定理解三角形,并能判断三角形的形状.,1.正弦定理,知识拓展设ABC的外接圆的半径为R,由此还可以推出以下结论: (1)abc=sin Asin Bsin C;,(4)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;,(6)ABab2Rsin A2Rsin Bsin Asin B.,答案:B,2.解三角形 一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【做一做2-1】 在ABC中,c=3,A=45,C=60,则a= .
2、,确定三角形解的个数 剖析(1)已知三角形的两角与一边,根据正弦定理,有且只有一解. (2)已知三角形的两边及其中一边的对角,根据正弦定理,可能有两解、一解或无解.在ABC中,当已知a,b和角A时,解的情况如下:,在具体解题时,作出已知角A、边AC,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,与射线AB的公共点(除去顶点A)的个数即为三角形解的个数.,题型一,题型二,题型三,题型四,已知两角和一边解三角形 【例1】 在ABC中,已知A=60,B=45,c=2,求C,a,b. 分析先根据三角形的内角和定理求出角C,再由正弦定理求a,b. 解在ABC中,C=180-(A+B)=180-(60+45)=75.
3、 sin 75=sin(45+30),根据正弦定理,得,题型一,题型二,题型三,题型四,反思当已知三角形的两角和一边时,解三角形的步骤如下:(1)利用三角形内角和定理求出第三个角;(2)利用正弦定理求出另外两边.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练1】 在ABC中,b=20,A=60,C=45,求B,a,c. 解B=180-A-C=75.,题型一,题型二,题型三,题型四,已知两边和其中一边的对角解三角形 【例2】 在ABC中,已知下列条件,解三角形: (1)a=10,b=20,A=80;,解(1)由正弦定理,题型一,题型二,题型三,题型四,0B180, B=45或B=135. 当B=4
4、5时,A=180-(B+C)=180-(45+60)=75,当B=135时,A=180-(B+C)=-150, 此时三角形无解.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思已知两边和其中一边的对角解三角形的步骤:(1)利用正弦定理求出另一角的正弦值m,若m1,则此三角形无解;若0m1,则执行下一步;(2)借助于三角形的内角范围和m来确定该内角的大小.在确定该角时,要注意结论“abAB”的应用;(3)分类讨论该内角的大小,先用三角形的内角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,此时可能无解,或仅有一解,或有两解. 此类题目也可先确定三角形解的个数,再解三角形.,题型
5、一,题型二,题型三,题型四,A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不确定,答案:A,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,判断三角形的形状 【例3】 已知在ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断ABC的形状.,题型一,题型二,题型三,题型四,b2=c2,a2=b2+c2,b=c,A=90. ABC为等腰直角三角形.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等?是否三边相等?是否符合勾股定理的逆定理?还要研究角与角的大小关系:是否两个角相等?是否三个角相等?有无直
6、角或钝角? 2.解此类题的思想方法是:从条件出发,利用正弦定理等进行代换、转化、化简、运算,发现边与边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断. 3.一般有两种转化方向:(1)角转化为边;(2)边转化为角.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 在ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.,ABC是等腰三角形或直角三角形.,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析 易错点:由角的正弦值求角时,未讨论致错 【例4】 在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对应的边,且b=6,故B=60或B=120. 错解没有讨论角B的度数而致错.,题型一,题型二,题型三,题型四,故B=60或B=120. 当B=60时,C=180-A-B =180-30-60=90.,
