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1、线性代数,昆明理工大学数学系 2009.12,2,第三节 向量组的秩,向量组的极大无关组和秩,定理和示例,一. 向量组的极大无关组和秩,定义1.,设有两个n维向量组A，B如下,A：,B：,称向量组A可由向量组B线性表示。,若A中每一个向量都可以由向量组B线性表示，则,以由向量组A线性表示，则称向量组A与B等价。,若向量组A可由向量组B线性表示，且向量组B也可,量组B可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C,不难验证，若向量组A可由向量组B线性表示，又向,线性表示。,例1.,设A，B两组向量为,A：,B：,则有,故A组可由B组线性表示。,又有,故B组也可由A组线性表示。因此，A组与B组等价。
2、,定义2.,可以是有限个，也可以是无限多个。),设A是n维向量组。(A中所含有的向量个数,如果：,（1）,（2）,A中任意r+1个向量（若存在的话）都线性相关。,大无关组。,数大于r的向量组（若存在的话）都线性相关。,因为线性相关向量组再增加向量仍是线性相关组。,所以A中任意r+1个向量线性相关，则任意r+2个向量,（若存在的话）也线性相关，依次类推，可知A中任意个,因此，,向量个数最大的，因此称之为最大线性无关组。,定义3.,称为向量组A的秩。,向量组A中最大线性无关组所含向量的个数，,组，规定其秩为0。,只含零向量的向量组没有最大无关,向量组A的秩记为R(A)或秩(A)。,根据最大无关组及
3、秩的定义，下面的等价式成立：,线性无关,线性相关,二. 定理和示例,定理1.,必要条件是,定理2.,示的充分必要条件为,推论.,必要条件为,定理3.,表示，则有,推论.,推论的逆命题不成立。例如，设两组向量为,A：,B：,则A，B两组都是线性无关组，故R(A)=R(B)=2。,但A中,不能由B组线性表示,定理4.,组的充分必要条件是下面(i)、(ii)两条件成立：,(i),是A中的线性无关组；,(ii),例2.,由定,的秩为n，,其中任意n个线性无关的向量组都是它的最大无关组，,定义4.,列分块成,明一个引理。,为了讨论矩阵的行秩、列秩及矩阵秩的关系，先证,引理.,是B的列向量组，,与B中相同
4、列号,(i),线性相关,线性相关,相同的相关式的系数。,，并且有,(ii),线性无关,线性无关,(iii),定理5.,设矩阵A经过初等变换化成B，则,A的行秩=B的行秩，A的列秩=B的列秩,换句话说，矩阵经初等变换后，行秩和列秩都不变。,定理6.,矩阵A的行秩=A的列秩=A的秩R(A)。,向量组的线性相关与线性无关。,定理6建立了向量组的秩与矩阵秩的联系，一方面,使我们可以利用向量组秩的性质得到矩阵秩的性质，另,一方面通过计算矩阵的秩，可以计算向量组的秩，判别,写成定理的形式：,首先，补充证明上章提过的矩阵秩的性质，将它们,定理7.,矩阵的秩具有以下性质：,（1）,（2）,（3）,定理8.,（
5、4）,例3.,设有向量组,组的秩，并求它的一个最大无关组。,求向量,例4.,例5.,向量组,例6.,本 节 完,证明：,必要性，,若,零向量，,现设,，因为,（1）,有r+1个向量，且这r+1个向量中必含有,，不妨设最大,无关组为,中任意一个向量,是向量组,中r+1个向量，必定线性相关，,因此，,且对,根据2性质（2），,于是,线性相关，与假设矛盾。,因此等式,不成立，,由（1）式可知有,故,充分性，,设,，若,因为,r+1个向量，必线性相关，,2性质（2），,根据,设,于是,证明：,必要性，,由定理1，,表示，,再由定理1，有,于是有,依此类推，得,充分性，,设,显然,现设,因为,的最大无关
6、组，,因而,证明：,首先有,由定理2有,故有,证明：,分必要条件是条件(i)、(ii)成立。,就是要证明定义2中的条件(1)、(2)成立的充,必要性：,(1)，故成立。,设定义2中的条件(1)、(2)成立，则(i)就是,r+1个向量，,也成立，必要性得证。,故条件(ii),充分性：,设(i)、(ii)成立。则定义2中的(1)成立，,设,线性表示。,由定理3，有,证明：,由分块矩阵乘法，有,比较等式各列，得,(1),(i),使,(1),(2),等式两边左乘P，得,，由(1)式得,(3),0，使(3)式成立，两边左乘,，由(1)式得(2)式，因此,线性相关，且(2)与(3)有相同的相关式系数(4)
7、。,(4),由(i)可得(ii)，由(i)(ii)可得(iii)。,证明：,先考虑行初等变换情形。,设,设A的列秩,（r=0情形结论显然成立 ）。,因此，B的列秩,，故A的列秩=B的列秩。,再设,，设,则PA=B，P可逆。设,则有,由分块矩阵乘法，得,线性表示。,再由,B的行向量组线性表示。,同理可证A的行向量组可由,向量组等价，,因此，A的行向量组与B的行,故有,即A的行秩=B的行秩。,不变。,以上证明了当经行初等变换后，A的行秩和列秩都,由已证的部分，得,因而有,证明：,若A=0，结论显然成立。,由第二章3定理1，A经过初等变换可化为标准形,即,第r行,第r列,必含有零行，因而必线性相关，
8、,容易看出，标准形B的前r行线性无关，而任意r+1行,矩阵B的秩也是r，,故知B的行秩=r，同理可,知B的列秩=r，,不变，因此，A的行秩、列秩及A的秩都等于r。,由第二章4的定理及,本节的定理5，矩阵经过初等变换后，行秩、列秩及秩都,证明：,（1）,不等于零的子式，故有,同理有,，因此,将A，B按列分块，设,，则,的列秩=R(A),是B的列向量组中的t个线性无关向量，故,的列秩=R(B),只含B的列向量，则,若(A,B)的列向量组的最大无关组只含A的列向量或,或,都有,（2）,则,对它做列,于是由（1）得到,同理可证,（3）,设,根据分块矩阵的乘法，就有,是B的行向量组。,等式说明AB的列向
9、量组是A的列向量组的线性组合，,由定理6，得,又有,这一等式说明AB的行向量组是B的行向量组的线性组合，,由定理6，得,因此,证明：,向量，,(4)式可写成矩阵等式,，简记为B=CA,R(A)=R(B)，,于是有,因而有,解：,以这组向量作为列，作成矩阵A，即,对A作行初等变换，将A化为阶梯形矩阵，过程如下：,B为阶梯形矩阵，含有三个非零行，故R(B)=3。因而有,无关组。,考察第1，2，4列作成的矩阵,它有一个三阶子式不为0，如上所示。,因而,即,解：,式都等于0，取前三列作成的子式，令其等于0，计算得,解：,计算，各组的系数行列式的值如下：,根据定理8，只要计算各组的系数行列式，哪,一组的系数行列式不等于0，该组就是线性无关组。经,(A),(B),(C),(D),证法一：,使得,由R(I)=R(II)=3，可知(I)线性无关，(II)线性相关，因而,设,入前一个等式，得,，代,证法二：,相关，,由R(I)=R(II)=3推知(I)线性无关，(II)线性,设,列向量作矩阵A，并作列初等变换如下：,初等变换不改变矩阵的秩，故,
