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1、1/82,第三章 变量变化速度与局部改变量 估值问题导数与微分,学之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之实. 朱熹：朱子语类辑略 在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了. 恩格斯,2/82,教学目标：本章目标是介绍导数概念、求导数的方法、微分及其运算。 要求理解导数的概念、会求导数与微分、掌握导数与微分的运算法则。了解牛顿的生平事迹和微积分发生与发展简史.,教学重点：导数概念、求导方法、微分概念； 教学难点：导数概念、微分概念、高阶导数的 概念；,3/82,教学内容 1 函数的局部变化率导数 2 求导数的方法法则与公式 3 局部改变量的估值
2、问题微分及其运算 数学家启示录,4/82,第一节 函数的局部变化率导数,问题提出 我们在解决实际问题时，除了需要了解变量之间的函数关系以外，有时还需要研究变量变化快慢的程度.例如物体运动的速度，城市人口增长的速度，国民经济发展的速度等。 三类问题： 1：求变速运动的瞬时速度 2：求曲线上一点处的切线 3：求极大值和极小值,5/82,1.1 抽象导数概念的两个现实原型,原型 求变速直线运动的瞬时速度.,匀速运动：,设 在0，T上连续，求 .,瞬时速度 ；,变速运动：,瞬时速度 .,1. 提出问题,想一想 如何处理速度变与不变的矛盾？,6/82,求增量 给 一个增量 ,时间从 变到了 ， 则,求增
3、量比（局部以匀速代变速）, 取极限（平均速度的极限值即为在时刻t0的瞬时速度）,7/82,原型 求曲线切线的斜率.,和 是曲线,上两点它们的连线是 该曲线的一条割线，当点M沿曲线无限接近于点M0时，割线绕点 M0转动，其极限位置M0 T就是曲线在点M0处的切线（图3.2），求曲线在点M0处切线的斜率.,8/82,思考 步骤？ 数学思想方法？,提出问题 若 的图象是直线，则 ；,若 的图象是曲线，则 .,9/82,3. 回答两个思考题 步骤 求增量 给 一个增量 ，自变量由 变到 ，则,求增量比,10/82,瞬时速度 平均速度,2：取极限,（第一步为第二步做准备）,总结：上面两个现实原型的范畴虽
4、不相同，但从纯数学的 角度来考察， 所要解决的问题相同：求一个变量相对于另一个相关变量的变化快慢程度，即变化率问题； 处理问题的思想方法相同；矛盾转化的辨证方法； 数学结构相同：函数改变量与自变量改变之比，当自变量改变量趋于零时的极限. 由这两个具体问题便可抽象出导数的概念。,1：化 为,切线 割线,2：取极限,1：化 为,11/82,1.2 导数概念,定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当自变量 在 处有增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数有增量 ，如果 与 之比 ，当 时的极限存在，则称这个极限值为 在点 处的导数，记作 ，,其它形式,即,X0为固定的点,注意：如果上述极限不存在
5、，则称在x0处不可导,一个整体符号,12/82,由此可知： 导数的力学意义是变速直线运动物体的瞬时速度； 导数的几何意义是曲线切线的斜率.,求平均变化率,求平均变化率的极限，即,导数是平均变化率的极限！,13/82,定义2 如果函数 在区间 内的每一点都可导，则称函数在区间 内可导.这时，函数 对于区间 内每一 值都对应着一个确定的导数，称为函数 的导函数，记作 或 其计算公式为 显然函数 在点 处的导数 就是导数 在 处的函数值. 在不致引起混淆的情况下，导函数也简称为导数.,是常数,是函数,14/82,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,15/82,可导区间：,16/82,由定义求导数,
6、步骤:,例,解,s,17/82,例1：求函数 在点 处的导数.,解：给 一个增量 ，则函数增量为,平均变化率为,于是,求导方法：法一、直接在点x0处求增量。 法二、求出导函数，再将x0代入。,使用法一,18/82,例2 求函数 在点 处的导数.,解 先求导函数.,给任意一点 一个增量 ，得,由于,所以,再求函数在点 处的导数,方法：1）直接在点x0处求增量。 2）求出导函数，在将x0代入。,使用法二,19/82,例3 求函数 的导数.,解 任取一点 给 一个增量 ，得,从而,由于当 时， 又因 在任取点 处连续，根据连续函数求极限的法则，故得,20/82,例2,解,21/82,1.5 函数的连
7、续性和可导性之间的关系,定理：如果函数 在点 处可导，那么 在点 处可连续. 该定理可简述为：可导则连续.,注意：该定理的逆命题并不成立.,如 在点 处连续，但它在点 处 不可导.,22/82,例,解,23/82,1.6 高阶导数的概念,二阶导数的力学意义是运动物体的加速度.,定义：,记作,24/82,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,25/82,一、和、差、积、商的求导法则,定理,2.1 求导法则,26/82,证(3),证(1)、(2)略.,27/82,推论,28/82,例1 已知 求 .,解,例2 已知 求 .,解,29/8
8、2,例3 已知 求 .,解,例4 已知 求 .,解,即,30/82,三、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),此式也可表为： 和,31/82,例5 求 .,解 令 因为,所以,消去中间变量u， 得,有时复合函数的中间变量有两个或两个以上.如设 则复合函数 的求导法则为,32/82,例6 求 .,消去中间变量u和v，得,33/82,例7 求 .,解 根据定义域，去掉绝对值符号，表为分段函数,综合得,例6 求 .,例7 求 .,问题是如何求？,34/82,四、隐函数求导 用复合函数求导法则来求隐函数的导数,如果方程 确定
9、了y是x的函数，那么，这样的函数叫做隐函数.设隐函数y关于x可导，我们可以利用复合函数求导法则，求出隐函数y对x的导数.（如例8）,例8 方程 确定了y是x的隐函数，求 .,解 因为y是x的隐函数，所以是lny是x的复合函数.于是 等式两端对x求导数，有,解出 ，得,35/82,例9 求圆 上一点 处的切线 方程.,解 根据导数的几何意义，先求隐函数y的导数.等式 两端对x求导，有,根据直线的点斜式方程，可得所求圆的切线方程,36/82,例,解,则得恒等式,代入方程,将此恒等式两边同时对x求导,得,因为y是x的函数,是x的复合函数,所以,求导时要用复合函数求导法,37/82,2.2、初等函数的
10、求导问题,1.常数和基本初等函数的导数公式,38/82,2.函数的和、差、积、商的求导法则,3.复合函数的求导法则,利用导数定义、上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,39/82,例10 求下列函数在指定点处的导数：, ,解 由,得,40/82,由,得,41/82,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,3.1 微分,42/82,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?,43/82,二、 微分概念,定义 设函数 在点 处有增量 ，若相应的函数增量 可表为 其中A 与 无关， 称为 的线性主部，
11、 是关于的高阶无穷小量，则称函数 在点 处可微，并称 为函数 在点 处的微分，记作 ，即,于是有,(微分的实质),44/82,由定义知:,45/82,由可微定义得,可微与可导间关系,所以可微则可导；,反过来，可导则可微.,所以对于函数，求导数与求微分是一回事.即可微 与可导等价.故可导也叫可微.,对于求函数的增量而言，只需求1次导数，省却了 繁琐的求函数之差的运算，故可简化计算。,46/82,3.2 微分公式和法则,1. 导数公式和微分公式, 2. 导数法则和微分法则,详见课本第61页,47/82,一、计算函数增量的近似值,例1,解,3.3 微分在近似计算中的应用,48/82,二、计算函数的近
12、似值,49/82,例2,解,50/82,牛顿是著名的数学家、物理学家、天文学家，是科学界崇拜的偶像。单就数学方面的成就，就使他与古希腊的阿基米德、德国的“数学王子”高斯一起，被成为世界三大数学家。其主要成就如下：数学方面 和 2）物理方面,数学家启示录（3） 科学巨匠牛顿,51/82,数学方面 他数学生涯中第一项创造性成果就是发现了二项式定理；微积分的创立是牛顿最卓越的数学成就。他为解决运动问题，才创立这种和物理概念直接联系的数学理论的，并称之为“流数术”。他将自古希腊以来求解无限小问题的各种技巧统一为两类普通的算法微分和积分，并确立了这两类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最关键的一步，
13、为近代科学发展提供了最有效的工具，开辟了数学上的一个新纪元。 牛顿在代数方面出版了普遍算术，主要讨论了代数基础及其（通过解方程）在解决各类问题中的应用。牛顿对解析几何与综合几何也有贡献。出版了解析几何和三次曲线枚举。 此外，还涉及数值分析、概率论和初等数论等众多领域。,52/82,物理方面 牛顿是经典力学理论理所当然的开创者。他系统的总结了伽利略、开普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的万有引力定律和牛顿运动三定律。还出版了经典力学著作自然哲学的数学原理。 在光学方面，牛顿也取得了巨大成果。他最早发现了白光的组成并对各色光的折射率进行了精确分析，说明了色散现象的本质。还提出了光的“微粒说”，他的“微粒说”与后来惠更斯的“波动说”构成了关于光的两大基本理论。此外，他还制作了牛顿色盘和反射式望远镜等多种光学仪器。 牛顿的研究领域非常广泛，他在几乎每个他所涉足的科学领域都做出了重要的成绩。他研究过计温学，观测水沸腾或凝固时的固定温度，研究热物体的冷却律，以及其他一些只有在与他自己的主要成就想比较时，才显得逊色的课题。,
