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1、1.1 命题,1.理解命题的概念及其构成,会判断一个命题的真假. 2.理解四种命题及其关系,掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断.,1.命题 可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.其中判断为真的语句叫作真命题,判断为假的语句叫作假命题. 【做一做1-1】 下列语句中,不能称为命题的是( ) A.512 B.x0 C.若ab,则ab=0 D.三角形的三条中线交于一点 解析:分析各语句能否判断真假,选项A判断为假,选项C,D判断为真,而选项B中,在给x赋值之前,不能判断x0的真假,所以x0不是命题. 答案:B,【做一做1-2】 有下列命题:关于x的方程mx2+2x-1=0是一元二次方程;抛
2、物线y=ax2+2x-1与x轴至少有一个交点;互相包含的两个集合相等;空集是任何集合的真子集.其中真命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:命题中,当m=0时,方程是一元一次方程;命题中,由题设知a0,则=4+4a,的值可能为正数,可能为负数,也可能为零,故交点个数可能为2,0,1;命题中,空集不是空集的真子集;命题为真命题. 答案:A,2.命题的结构形式 数学中,通常把命题表示为“若p,则q”的形式,其中p是条件,q是结论. 说明:数学中有些命题虽然不是“若p,则q”的形式,但是把它的表述作适当的改变,也可以写成“若p,则q”的形式.例如“对顶角相等”可改写为“若两个角是
3、对顶角,则这两个角相等”.,3.四种命题,说明:关于四种命题的进一步理解: (1)一个命题的四种形式是相对而言的,其中任何一个都可以看作原命题,而其他三个命题分别是它的逆命题、否命题和逆否命题. (2)对于表面上不是“若p,则q”形式的命题,要写出其他三种命题,应将其改写成“若p,则q”的形式,这样便于分清原命题的条件和结论. (3)当一个命题含有前提时,若要写出其他三种命题,则前提不变,仍作前提. (4)将命题中的条件、结论进行否定时,要注意某些词语的否定形式.,下面给出一些常见的关键词及其否定形式:,【做一做2-1】 已知a,b,cR,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c23”的否命题
4、是( ) A.若a+b+c3,则a2+b2+c23 B.若a+b+c=3,则a2+b2+c23 C.若a+b+c3,则a2+b2+c23 D.若a2+b2+c23,则a+b+c=3 答案:A,【做一做2-2】 命题“若x21或x1 D.若x1或x-1,则x21 解析:根据逆否命题的定义,可知把原命题的条件、结论都否定后再交换,即“若x1或x-1,则x21”.故D正确. 答案:D,4.四种命题之间的相互关系 5.四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. (2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有必然关系.,【做一做3】 判断下列命题的真假,并写出它们的
5、逆命题、否命题、逆否命题,同时判断这些命题的真假. (1)若ab,则ac2bc2; (2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形. 分析:各命题已具备“若p,则q”的形式,因此可直接写出它们的其他三种命题,并利用四种命题之间的关系判断真假.,解:(1)该命题为假命题. 逆命题:若ac2bc2,则ab,真命题. 否命题:若ab,则ac2bc2,真命题. 逆否命题:若ac2bc2,则ab,假命题. (2)该命题为真命题. 逆命题:若四边形是圆的内接四边形,则该四边形的对角互补,真命题. 否命题:若四边形的对角不互补,则该四边形不是圆的内接四边形,真命题. 逆否命题:若四边形不是圆的内接四边
6、形,则该四边形的对角不互补,真命题.,题型一,题型二,题型三,【例1】 判断下列语句是不是命题,若是,判断其真假. (1)矩形是平行四边形. (2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗? (3)一个数不是合数就是质数. (4)大角所对的边大于小角所对的边. 分析:根据命题的定义进行判断. 解:(1)是命题且为真命题. (2)不是命题,原语句是疑问句,没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出判断,不是命题. (3)是命题且为假命题,1既不是合数也不是质数. (4)是命题且为假命题,必须在同一个三角形或全等三角形中才有“大角所对的边大于小角所对的边”.,题型一,题型二,题型三,反思判断一个语句是不是
7、命题的三个关键点: (1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题; (2)该语句表述的结构可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题; (3)对于含有变量的语句,要注意根据变量的取值范围,看能否判断真假,若能,就是命题;否则就不是命题.,题型一,题型二,题型三,【变式训练1】 判断下列命题的真假. (2)正项等差数列的公差大于零; (3)能被2整除的数一定不是素数. (2)正项等差数列的公差不一定大于零.例如,常数列2,2,2,2,的公差为零. (3)2能被2整除,但2是素数. 解:(1)为假命题. (2)为假命题. (3)为假命题.,题型一,题型二,题型三,
8、【例2】 指出下列命题中的条件p和结论q. (1)若a,b,c成等差数列,则2b=a+c; (2)若两个三角形相似,则它们的对应角相等; (3)偶函数的图像关于y轴成轴对称图形; (4)菱形的对角线互相垂直. 分析:一般而言,“若”“如果”“只要”后面是条件,“则”“那么”“就有”后面是结论. 解:(1)条件p:a,b,c成等差数列,结论q:2b=a+c. (2)条件p:两个三角形相似,结论q:对应角相等. (3)条件p:一个函数是偶函数,结论q:这个函数的图像关于y轴成轴对称图形. (4)条件p:一个四边形是菱形,结论q:这个四边形的对角线互相垂直.,题型一,题型二,题型三,反思当一个命题的
9、条件和结论不明显时,我们可以把它的表述作适当改变,写成“若p,则q”的形式,例如(3)改写成:若一个函数是偶函数,则它的图像关于y轴成轴对称图形;(4)改写成:若一个四边形是菱形,则它的对角线互相垂直.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,【例3】 已知函数f(x)在(-,+)上是增函数,a,bR,对命题“若a+b0,则f(a)+f(b)f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论. 分析根据四种命题之间的关系写逆否命题、逆命题,用互为逆否命题的两个命题同真假来证明结论.,题型一,题型二,题型三,解(
10、1)逆否命题:若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b), 则a+b0.是真命题. 证明:因为a+b0,所以a-b,b-a. 因为f(x)在(-,+)上是增函数, 所以f(a)f(-b),f(b)f(-a), 所以f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),即原命题为真命题. 又因为互为逆否命题的两个命题同真假,所以其逆否命题为真命题.,题型一,题型二,题型三,(2)逆命题:若f(a)+f(b)f(-a)+f(-b),则a+b0.是真命题. 证明:由a+b0,则a-b,b-a. 因为f(x)在(-,+)上是增函数, 所以f(a)f(-b),f(b)f(-a), 所以f(a)+f(b)f(-a)+
11、f(-b). 所以其否命题为真命题. 又因为互为逆否命题的两个命题同真假,所以其逆命题为真命题. 反思当直接证明某一个命题的真假发生困难时,通常转化为判断它的逆否命题的真假.,题型一,题型二,题型三,【变式训练3】 求证:若p2+q2=2,则p+q2. 证明设原命题为“若p2+q2=2,则p+q2”, 则其逆否命题为“若p+q2,则p2+q22”. 所以原命题为真命题,即若p2+q2=2,则p+q2.,1 2 3 4 5,1.已知下列语句: 你准备考北京大学吗? 斜率相同的直线平行. 这里的景色真美! x3. 55. 其中不是命题的是( ) A. B. C. D. 解析:是疑问句,是感叹句,无
12、法判断真假. 答案:B,1 2 3 4 5,2.有下列四个语句: “若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题; “全等三角形的面积相等”的否命题; “若q1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题; “不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题为( ) A. B. C. D. 解析:“若三角形不全等,则面积不相等”,为假命题;“三个内角相等的三角形为不等边三角形”,为假命题.而为真命题,故选C. 答案:C,1 2 3 4 5,3命题“若a,b都是奇数,则ab必为奇数”的等价命题是 ( ) A.若ab是奇数,则a,b都是奇数 B.若ab不是奇数,则a,b不都是奇数 C.若a,b都是奇数
13、,则ab不是奇数 D.若a,b不都是奇数,则ab不是奇数 解析:根据原命题与其逆否命题等价进行判断. 答案:B,1 2 3 4 5,4.下列说法中正确的是( ) A.若一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“ab”与“a+cb+c”不等价 C.“若cos x=cos y,则x=y”的逆否命题为真命题 D.若一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 解析:A选项显然不正确.B选项,aba+cb+c.C选项,cos x=cos y不一定得到x=y,也可以是x=2-y,所以该命题为假命题,其逆否命题也为假命题.D选项,一个命题的逆命题与其否命题是互为逆否命题,具有相同的真假性. 答案:D,1 2 3 4 5,5.命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b0有非空解集,则a2-4b0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断这些命题的真假. 解:逆命题:已知a,b为实数,若a2-4b0,则x2+ax+b0有非空解集. 否命题:已知a,b为实数,若x2+ax+b0没有非空解集,则a2-4b0. 逆否命题:已知a,b为实数,若a2-4b0,则x2+ax+b0没有非空解集. 原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.,
