《高中数学 第一章 不等关系与基本不等式课件 北师大版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 不等关系与基本不等式课件 北师大版选修4-5（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本章整合,第一章 不等关系与基本不等式,答案:|a+b|a|+|b| ax+bc或ax+b-c 3abc 求差比较法 分析法,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一 含绝对值的不等式的解法 1.解含绝对值的不等式的一般步骤 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根. (2)把这些根由小到大排列,它们把实数轴分为若干个区间. (3)在所分区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,讨论所得的不等式在这个区间上的解集. (4)这些解集的并集就是原不等式的解集. 2.解不等式常用技巧 解不等式时,在不等式的两边分别作恒等变形,在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式,移项,在不等式的两边
2、同时乘(或除以)一个正数或一个正的代数式,得到的不等式都和原来的不等式等价.这些方法,也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧.,专题一,专题二,专题三,专题四,【例1】 解不等式|x+1|2x-3|-2.,专题一,专题二,专题三,专题四,变式训练1已知函数f(x)=|x-1|. (1)解关于x的不等式f(x)+x2-10; (2)若g(x)=-|x+3|+m,且f(x)1-x2. 由x-11-x2,得x1或x1或x1或x1. (2)原不等式等价于|x-1|+|x+3|4. 故实数m的取值范围为(4,+).,专题一,专题二,专题三,专题四,专题二 最值及恒成立问题 关于不等式的恒成立问
3、题,一般要转化为求函数的最值问题,例如:要使f(x)a恒成立,我们只需求出f(x)的最小值f(x)min,如果a比这个最小值还小,那么这个式子就恒成立,即f(x)a恒成立f(x)mina.,专题一,专题二,专题三,专题四,【例2】 若不等式log3(|x-4|+|x+5|)a对于一切xR恒成立,则实数a的取值范围是 . 分析应求出log3(|x-4|+|x+5|)的最小值,令a小于这个最小值,即为实数a的取值范围. 解析:由绝对值的几何意义知|x-4|+|x+5|9,则log3(|x-4|+|x+5|)2,所以要使不等式log3(|x-4|+|x+5|)a对于一切xR恒成立,则需a2. 答案:
4、(-,2),专题一,专题二,专题三,专题四,变式训练2若关于x的不等式|a|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是 . 答案:(-,-33,+),专题一,专题二,专题三,专题四,分析将参数k与变量a,b进行分离,即把参数k放到不等式的一边,不等式的另一边是关于变量a,b的代数式,然后只需求出关于变量a,b的代数式的最值,即可得到参数k的取值范围,从而得出k的最小值.,专题一,专题二,专题三,专题四,答案:C,专题一,专题二,专题三,专题四,专题三 不等式证明的其他方法 1.换元法 换元法主要是指对结构较为复杂,量与量之间的关系并不明显的命题,通过引进新的变量,代换原题中的部分式子
5、,简化原有的结构,使之转化为便于研究的形式.,专题一,专题二,专题三,专题四,【例4】 已知-1x1,n2,且nN,求证:(1-x)n+(1+x)n2n.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,2.构造数列法 在一些常见的与正整数n有关的不等式问题中,我们一般可以通过构造一个数列来帮助求解.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,3.判别式法 判别式法是根据已知构造出的一元二次方程、一元二次不等式或一元二次函数的解集特征,确定出其判别式所满足的不等式,从而推出欲证的不等式的方法.,专题一,专题二,专题三,专题四,分析一般地,可以变形转化为某变
6、量的一元二次方程的形式,且变量允许在实数集内的问题都能利用判别式法解决.但应注意对二次项系数的讨论.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题四 不等式的实际应用 利用不等式的性质解决实际应用题,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的最值(即题中的y);其次分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式y=f(x)(x一般为题目中最后所要求的量);最后利用不等式的有关知识解题.在使用不等式性质的过程中,一定要确定自变量的取值范围,在满足“一正、二定、三相等”的情况下进行应用,特别要注意等号取得的条件以及是否符合其实际意义.,专题一,专题二,专题三,专题四,【例7】 设计一幅宣传画,要
7、求画面面积为4 840 cm2,画面的宽与高的比为(1),画面的上下各留8 cm的空白,左、右各留5 cm的空白.怎样确定画面的高与宽的尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专题三,专题四,变式训练4某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16 m,如果池四周墙建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.,专题一,专题二,专题三,专题四,专题一,专题二,专
8、题三,专题四,1812.5,16, Q(x)44 800. 对任意x1,x2满足12.5x10,012.52x1x2162324. Q(x2)Q(x1), Q(x)在12.5,16上是减少的. Q(x)Q(16)=45 000. 故当污水处理池的长为16 m,宽为12.5 m时,总造价最低,最低造价为45 000元.,2,3,4,1,5,6,7,8,考点1:最值及恒成立问题 1.(2017浙江高考)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是 ,最大值是 .,2,3,4,1,5,6,7,8,2,3,4,1,5,6,7,8,2.(2016课标丙高考)已知函数f(x
9、)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)6的解集; (2)设函数g(x)=|2x-1|.当xR时,f(x)+g(x)3,求a的取值范围. 解(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+26得-1x3. 因此f(x)6的解集为x|-1x3.,2,3,4,1,5,6,7,8,(2)当xR时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| |2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, (分类讨论) 当a1时,等价于1-a+a3,无解. 当a1时,等价于a-1+a3,解得a2. 所以a的取值范围是2,+).,2,3,4,1,5,6,7,8,2,3,4,1
10、,5,6,7,8,2,3,4,1,5,6,7,8,2,3,4,1,5,6,7,8,(2)证明由(1)知,当a,bM时,-1a1,-1b1, 从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1 =(a2-1)(1-b2)0. 因此|a+b|1+ab|.,2,3,4,1,5,6,7,8,5.(2017全国2高考)已知a0,b0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2. 解(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)24. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3
11、ab2+b3 所以(a+b)38,因此a+b2.,2,3,4,1,5,6,7,8,考点3:解不等式问题 6.(2016课标乙高考)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在图中画出y=f(x)的图像; (2)求不等式|f(x)|1的解集.,2,3,4,1,5,6,7,8,2,3,4,1,5,6,7,8,7.(2017全国1高考)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围. 解(1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1
12、|+|x-1|-40. 当x-1时,式化为x2-3x-40,无解; 当-1x1时,式化为x2-x-20,从而-1x1; (2)当x-1,1时,g(x)=2. 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等价于当x-1,1时f(x)2. 又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)2且f(1)2, 得-1a1. 所以a的取值范围为-1,1.,2,3,4,1,5,6,7,8,8.(2017全国3高考)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围. 解(1) 当x2时,由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集为x|x1.,2,3,4,1,5,6,7,8,(2)由f(x)x2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x |x|+1+|x|-2-x2+|x|,
