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1、第6章 离散信号与系统的频域分析,6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数 6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换 6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换 6.4 离散时间傅里叶变换的性质 6.5 离散傅里叶变换(DFT) 6.6 DFT的性质 6.7 快速傅里叶变换(FFT)简介 6.8 离散系统的频域分析,6.1 周期信号的离散时间傅里叶级数,6.1.1 离散时间傅里叶级数,一周期为T的周期信号f(t)，若满足狄里赫利条件，则有,式中， 为基波角频率。这就是连续信号的傅里叶级数。 若设其基波频率为 ，将积分区间由 移到0T，则上式可写为,DFS的输入是一个数列，而不是时间连续函数。数列通常是以周
2、期TN秒等间隔、周期地对连续信号采样而产生。如果在周期函数f(t)的一个周期中采集N个样点，则有T=NTN(TN为采样间隔)。这样就得到一个数据序列f(kTN)，可以简记为f(k)。数据的顺序k确定了采样时刻，而采样间隔TN隐含在f(k)中。为了计算数据序列f(k)的傅里叶级数系数，我们对式(6.1 - 4)的符号作如下的演变：,于是得到,(6.1-7),与连续时间信号傅里叶级数的情况一样，Fn称为离散傅里叶级数的系数，也称为f(k)的频谱系数。通常Fn是一个关于n的复函数。采用与连续时间傅里叶级数中同样的方法，可以证明当f(k)是实周期信号时，其离散傅里叶级数的系数满足,6.1.2 离散时间
3、周期信号的频谱,图 6.1-1 周期性矩形脉冲序列,应用式(6.1 - 7)可求其傅里叶级数。不过，直接利用式(6.1 - 7)从0到N-1来计算并不方便，因为这个序列是对k=0对称的， 因此，宜选择一个对称区间，于是f(k)的离散时间傅里叶级数系数为,n0, N, 2N, ,n=0, N, 2N, ,(6.1-11),据式(6.1 - 11)就可画出f(k)的频谱图，但此频谱图的绘制比较困难。为了更方便地绘制f(k)的频谱图，我们采用与连续时间矩形脉冲信号频谱绘制相似的方法， 先分析Fn的包络。 为此，将(6.1 - 11)式中的 用连续变量来代换， 即有,n0, N, 2N, ,图 6.1
4、-2 周期矩形脉冲序列的频谱,图 6.1-3 N=10, N1=1时矩形脉冲序列的频谱,6.2 非周期信号的离散时间傅里叶变换,6.2.1 离散时间傅里叶变换,图 6.2-1 离散时间信号,图 6.2 - 1(a)所示fN(k)为一离散时间周期信号，当其周期N趋于无穷大时，周期信号fN(k)就过渡为非周期信号f(k)。,|k|N1 |k|N1,据DFS的定义，图 6.2 -1(a)所示离散时间周期信号fN(k)的离散时间傅里叶级数表示式为,由图 6.2-1(a)可知，当 时fN(k)=0，式(6.2-3)可写为,又由于当|k|N1时，fN(k)=f(k)，上式又可写为,则有,6.2.2 常用信
5、号的离散时间傅里叶变换,1. f(k)=ak(k)， |a|1 指数序列ak(k)示于图 6.2 - 2，其频谱函数应用式(6.2 - 11)可直接求得：,其幅度谱和相位谱示于图 6.2 - 2。从图中可知幅度谱、相位谱都是以2为周期的周期函数。因而一般只要画出02或-的谱线即可。,2.,(0a1),此信号为双边指数序列，并且是k的奇函数。由式(6.2 - 11)可得,图 6.2-2 ak(k)及其频谱,(a)0a1;(b)-1a0,3. 矩形脉冲信号f(k),图 6.2-3 矩形脉冲信号及其频谱,4. 单位脉冲序列(k),图 6.2-4 单位脉冲信号(k)及其频谱,5. f(k)=1,由此可
6、见， 对应的离散时间傅里叶变换为 ，因此可得，1的频谱为 ，即,图 6.2-5 序列1及其频谱,6. 正负号函数Sgn(k),图 6.2-6 正负号序列Sgn(k),7. 单位阶跃序列(k),对照连续信号(t)频谱的求法， 我们将(k)表示为下面的形式：,由前面的讨论已经知道：,于是有,6.3 周期序列的离散时间傅里叶变换,我们已经知道，f(k)=1是一个周期信号，其对应的离散时间傅里叶变换为,图 6.3-1 所示的频谱可表示为,图 6.3-1 f(k)=e j0k的频谱,将F(ej)代入式(6.2 - 10)可求得,从而得到复指数序列e j0k的离散时间傅里叶变换为,对于复指数序列 ，若设
7、，则有 的离散时间傅里叶变换为,如果将n的取值范围选为n=0N-1，,式(6.3-8)就可以改写成更为简单的形式：,离散时间周期信号f(k)的离散时间傅里叶变换F(ej)，即有,例 6.3-1 求f(k)=cos0k的离散时间傅里叶变换。,解 由于,同样可得,图 6.3-2 cos0k的频谱,例 6.3-2 f(k)为图 6.1 - 1 所示的周期性矩形脉冲序列，它在 的一个周期中可表示为,求其离散时间傅里叶变换。,解 周期序列f(k)的离散时间傅里叶级数系数Fn如式(6.1-11)所示，即,n=0, N, 2N, ,n0, N, 2N, ,图 6.3-3 周期矩形脉冲序列的频谱(N=10,
8、N1=2),6.4 离散时间傅里叶变换的性质,1. 周期性,离散时间f(k)的离散时间傅里叶变换F(ej)对来说总是周期性的，其周期为2。这是它与连续时间傅里叶变换的根本区别。,2. 线性,若,则有,3.,若,则据定义式(6.2 - 11)有,若f(k)为实序列，则f(k)=f*(k), 于是有,此式可进一步表述如下。若,4. 时移和频移,如果f(k) F(ej)，对f(k-k0)直接应用式(6.2 - 11)求离散时间傅里叶变换并通过变量代换可得时移特性,如果对F(ej(-0)应用式(6.2 - 10)求其傅里叶反变换，利用变量代换就得频移特性,例如，,应用频移性质， 显然有,5. 时域和频
9、域的尺度变换,对于离散时间信号f(k)，由于k只能取整数，因而f(ak)中a也只能取整数，而且f(ak)的含义与f(at)根本不同。f(ak)并不表示将f(k)沿k轴压缩1/a。比如当a=2时，f(2k)表示由f(k)的偶次项组成的序列，因而f(2k)的离散时间傅里叶变换与f(k)的离散时间傅里叶变换无直接关系。为了讨论离散序列中与连续信号尺度变换类似的性质， 我们定义一个信号f(m)(k),k是m的倍数,k不是m的倍数,(m为整数),f(m)(k)序列相当于将f(k)在k轴扩展而得。,f(m)(k)的离散时间傅里叶变换F(m)(ej)为,这样就得到离散时间傅里叶变换的尺度变换性质， 即,若f
10、(k) F(e j), 则有,作为特例，当m=-1时， 有,尺度变换性质表明，对离散序列，当序列在时域里“拉长”， 其对应的傅里叶变换在频域里就“压缩”了。,6. 频域微分特性,若f(k) F(ej)，即有,把上式两端对求微分，可得,因此，两端乘j, 就有,7. 卷积(和)特性,若f1(k)F1(ej), f2(k) F2(ej)，应用与连续时间傅里叶变换卷积特性的证明完全相似的方法，可得时域卷积特性,对于频域卷积特性，由于,所以,交换求和及积分次序， 有,上式右端为F1(ej)与F2(ej)的卷积。只不过由于F1(ej)与F2(ej)都是以2为周期的周期函数，其卷积结果亦为以2为周期的周期函
11、数，因而称之为周期卷积。记为,图6.4-1 尺度变换特性,8. 差分与迭分(累和),设f(k) F(e j)，根据线性和时移特性可得离散序列傅里叶变换的差分性质， 即,离散序列迭分的傅里叶变换为,(6.4 - 15),当f(k)=(k)时，,由于,应用式(6.4 - 15)的迭分特性， 可得,9. 巴塞瓦尔定理,与连续时间信号的情况一样，在离散序列的傅里叶变换中也有类似的巴塞瓦尔定理。 即,若f(k) F(ej)，则有,对于周期序列，则相应有,10. 对偶性,若,则有,若非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换为F(ej)， 即,F(ej)是周期为2的频域周期函数，其对应的F(ejt)也是以2为
12、周期的时域周期函数。我们将周期信号F(ejt)展开为连续时间傅里叶级数，注意到周期T=2，基波频率 ，于是有,因此有：若f(k) F(ej)，则,例 6.4-1 已知一周期为2的连续时间周期信号f(t)的傅里叶级数系数为,求周期信号f(t)。,解 由题可知，Fn可看作是一个离散时间脉冲序列。其离散时间傅里叶变换如式(6.2 - 15)所示，即为 ， 因此， 依据对偶关系， 就有,如果将对偶性的讨论应用于离散时间傅里叶级数， 则可得到与连续信号傅里叶变换相对应的对偶性。 将周期序列f(k)的傅里叶级数系数表示为F(n)， 则有,如果把上式中的k与n对换， 则有,n换为-n, 则得,上式表明，离散
13、序列F(k)的离散时间傅里叶级数系数为 。 上述结论可记为,若f(k)F(n)，则有,DFS,这一对偶性意味着：离散时间傅里叶级数的每一个性质都有其相应的对偶性质。这与连续时间傅里叶变换的情况一样。 比如，对于下式所示性质：,则与其对偶的性质为,6.5 离散傅里叶变换(DFT),图 6.5-1 产生离散傅里叶变换对的图解说明,6.5.1 离散傅里叶变换的引入,假定f(k)是一个有限长序列，其长度为N，即在区间0kN-1以外，f(k)为零。将f(k)以周期为N延拓而成的周期序列记为fp(k)， 则有,(r为整数),上式还可写为,符号(k)N表示将K域序列以周期N延拓。为了便于记述，我们定义矩形脉
14、冲序列 GN(k)：,于是可以将周期序列fp(k)与有限长序列f(k)的关系表示为,周期序列fp(k)的离散时间傅里叶级数表示式为,如果将NFn表示成Fp(n),并令 ， 则上两式可改写为,式中，常数系数1/N置于DFS的正变换或反变换式中，对DFS变换无任何实质影响。 如果将周期序列Fp(n)在主值区间表示为F(n), 0nN-1，由于以上两式的求和范围均为0N-1，在此区间内fp(k)=f(k)，因此，“借用”离散傅里叶级数的形式可以得到,0nN-1,0kN-1,式中:,(6.5 - 9),(6.5 - 10),式(6.5 - 9)和式(6.5 - 10)所定义的变换关系就称为离散傅里叶变
15、换。它表明，时域的N点有限长序列f(k)可以变换为频域的N点有限长序列F(n)。很显然，DFT与DFS之间存在以下关系：,与连续时间傅里叶变换的情况类似，DFT的正、反变换之间存在一一对应的关系。或者说，IDFTF(n)是惟一的。对此可作如下证明。,由于,m=k+MN,mk+MN,(M为整数),所以，在区间0N-1有,0kN-1,由此可见式(6.5 - 10)定义的离散傅里叶反变换是惟一的。 可记为,例 6.5-1 有限长序列f(k)=G4(k)，设变换区间N=4、8、16时，试分别求其DFT。,解 设N=4, 则据式(6.5 - 9)有,同样,当N=8时,n=0,1,7,当N=16时,n=0,1,15,由此可见f(k)的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关。,设序列f(k)的长度为N，据式(6.2-11)可求得f(k)的离散时间傅里叶变换,而f(k)的离散傅里叶变换为,0nN-1,图 6.5-2 F(n)与F(ej)的关系,6.5.2 DFT的计算,其计算过程可写成矩阵形式，即,设,l均为整数,式中，r是kn被N除得的商数，l是余数。所以有,由于,所以有,表 6.1 按模 8 计算的kn值,6.6 DFT的性质,1. 线性,若 f1(k) F1(n), f2(k)
