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1、要深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神，尤其要学深悟透习近平新时代中国特色社会主义思想“四川篇”2.3 平面向量的数量积典题精讲例1 (2006全国高考卷，文1)已知向量a、b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2，则a与b的夹角为( )A. B. C. D.思路解析:考查向量数量积的坐标运算和向量的有关概念以及向量垂直的条件.cosa，b=，a，b0，a，b=.答案:C绿色通道:求向量a与b的夹角步骤：(1)计算ba，|a|，|b|；(2)计算cosa，b；(3)根据范围确定夹角的大小.变式训练1 (2006广东广州二模)若|a|=1，|b|=，(a-b)a，则向量a与b
2、的夹角为( )A.30 B.45 C.90 D.135思路解析:设a与b的夹角为，(a-b)a=0， |a|2-ba=0.ba=1.cos=.又0180，=45.答案:B变式训练 2 已知a=(1，)，b=(+1，-1)，则a与b的夹角是多少?思路分析:利用向量数量积的坐标运算来求夹角的余弦值.解：设a与b的夹角为，a=(1，)，b=(+1，-1)，ab=+1+(-1)=4，|a|=2，|b|=2.cos=.又0，=，即a与b的夹角是.变式训练 3 已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.思路分析:求a与b的夹角余弦值，只要求出ab与|a|
3、、|b|即可.解： (a+3b)(7a-5b)，(a+3b)(7a-5b)=0.7a2+16ab-15b2=0. 又(a-4b)(7a-2b)，(a-4b)(7a-2b)=0.7a2-30ab+8b2=0.-得46ab=23b2，即有ab=b2=|b|2. 代入式，得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0， 故有|a|2=|b|2，即|a|=|b|.cosa，b=. 又0a，b180，a，b=60，即a与b的夹角为60.变式训练4 已知ABC中，a=5，b=8，BCCA=-20，试求C.有位同学求解如下：解：如图2-3-5，|=a=5，|=b=8，图2-3-5cosC=-. 又0C180，C
4、=120. 这位同学的解答正确吗？如果你是他的数学老师，你会给他写什么批语？思路解析:上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，由于与两向量的起点并不同，故C， 而是C+，=180，则cos，=-. 又0，180，=120.C=60.答案:这位同学的解答不正确，C=60.批语是：如果你再理解了向量夹角的定义，那么你就成功了，请你再试试吧.例2 已知向量a、b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：(a+b)(a-b).思路分析:考查向量垂直的条件以及向量的数量积.证明(a+b)与(a-b)垂直，转化为证明(a+b)与(a-b)的数量积为零，也可以利用向量
5、线性运算的几何意义来证明. 证法一：|2a+b|=|a+2b|，(2a+b)2=(a+2b)2.4a2+4ab+b2=a2+4ab+4b2 .a2=b2.(a+b)(a-b)=a2-b2=0. 又a与b不共线，a+b0，a-b0，(a+b)(a-b). 证法二：如图2-3-6所示，在平行四边形OCED中，设=a，=b,A、B、N、M分别是OC、OD、DE、EC的中点.图2-3-6 则有2a+b=，a+2b=，a+b=,a-b=，|2a+b|=|a+2b|，|=|.OMN是等腰三角形. 可证F是MN的中点.OEBA.(a+b)(a-b).绿色通道:证明向量垂直的两种方法：(1)应用化归思想，转化
6、为证明这两个向量的数量积为0.(2)应用向量加减法的几何意义来证明.变式训练 已知向量a、b均为非零向量，且|a|=|b|，求证：(a-b)(a+b).思路分析:转化为证明向量(a-b)和(a+b)的数量积为0；或应用向量加减法的几何意义来证明. 证法一：如图2-3-7所示，在平行四边形OACB中，图2-3-7 设=a,=b，则a-b=，a+b=.|=|.四边形OACB是菱形.OCBA.， 即(a-b)(a+b). 证法二：|a|=|b|，(a-b)(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.a、b均为非零向量，a-b0，a+b0.(a-b)(a+b).例3 (2004湖北高考，理19)如
7、图2-3-8，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.图2-3-8思路分析:本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.可以用基向量法和坐标系法解决.解法一：(基向量法)，=0.=-，=()()=-+=-a2-=-a2-()=-a2+=-a2+=-a2+a2cos. 故当cos=1,即=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.解法二：(坐标法) 如图2-3-9所示，以A为原点，以所在直线为x轴建立平面直角坐标系.图2-3-9 设|AB|=c，|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0
8、，b)， 且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P(x,y),则Q(-x,-y).=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y),=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.|2=x2+y2,x2+y2=a2.cos=，cx-by=a2cos.=-a2+a2cos. 故当cos=1,即=0(与方向相同)时，最大，其最大值为0.绿色通道:解决向量问题的两种方法：(1)基向量法：选择不共线(最好垂直)的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；(2)坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，
9、建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.变式训练 正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos，的值.思路分析：最优解法为坐标法.解法一：(坐标法)如图2-3-10所示.图2-3-10 以OA和OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则有A(1，0)，C(0，1)，B(1，1)，=(1，)，=(，1)， 故cosDOE=.解法二：(基向量法)以和为基向量建立平面向量基底.设=a,=b， 则有|a|=|b|=1，a,b=，ab=0.+=+=a+b，+=+=a+b.|=，|2=，=(a+b)(a+b)=a2+ab+b2=1.cosDOE=.问题探究问题
10、在直角坐标系中，将单位向量旋转90到向量的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？导思:探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系.探究:如图2-3-11所示，在单位圆中，设=(a1，a2)，=(x，y)，图2-3-11，且|=|=1，有 整理得或 即当按逆时针方向旋转90时，=(-a2，a1)，当按顺时针方向旋转90时，=(a2，-a1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式. 例如：求证：cos(+90)=-sin，sin(+90)=cos.证明：设的终边与单位圆交于点A， 则A(cos，sin)，所以=(cos，sin).|=1，即是单位向量. 当按逆时针方向旋转90后到， 则点B(cos(+90)，sin(+90)， 由结论可得B(-sin，cos).(cos(+90)，sin(+90)=(-sin，cos).cos(+90)=-sin，sin(+90)=cos.通过大学习，进一步树牢“四个意识”、增强“四个自信”，切实把思想行动统一到党的十九大决策部署和习近平总书记对四川工作重要指示精神上来
