《高中数学 第三章 三角恒等变换 3_1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3_1_1 两角差的余弦公式知识巧解学案 新人教a版必修41》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 三角恒等变换 3_1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3_1_1 两角差的余弦公式知识巧解学案 新人教a版必修41（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、要深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神，尤其要学深悟透习近平新时代中国特色社会主义思想“四川篇”3.1.1 两角差的余弦公式疱工巧解牛知识巧学一、两角差的余弦公式1.推导方法1(向量法)：把cos(-)看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究.如图3-1-2，设、的终边分别与单位圆交于点P1(cos,sin),P2(cos,sin)，由于余弦函数是周期为2的偶函数，所以我们只需考虑0-的情况.图3-1-2 设向量a=(cos,sin)，b=(cos,sin)，则ab=|a|b|cos(-)=cos(-);另一方面，由向量数量积的坐标表示有ab=cosco
2、s+sinsin，所以cos(-)=coscos+sinsin.于是对于任意的、都有上述式子成立.图3-1-3 推导方法2(三角函数线法)：设、-都是锐角，如图3-1-3，角的终边与单位圆的交点为P1,POP1=,则POx=-；过点P作PMx轴于M，则OM即为-的余弦线.在这里，我们想法用、的三角函数线来表示OM；过点P作PAOP1于A，过点A作ABx轴于点B，过点P作PCAB于点C，则OA表示cos，AP表示sin，并且PAC=P1Ox=,于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcos+APsin=coscos+sinsin,即cos(-)=coscos+sinsin.2.公式的结构特征记忆要
3、诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.3.两角差的余弦公式C-的应用(1)若所求角能表示成两个特殊角的差的形式，则所求角的三角函数值可用两个特殊角的三角函数值表示出来.(2)已知角、的弦函数值，求cos(-)的值. 由cos(-)的展开式可知要求cos(-)的值，只需求得、的正弦值与余弦值即可.其中sin、cos，sin、cos都是同角的三角函数关系.(3)利用两角差的余弦公式证明三角恒等式.(4)利用两角差的余弦公式化简三角函数式.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简洁地处理问题.如由cos50cos20+sin50sin20
4、能迅速地想到cos50cos20+sin50sin20=cos(50-20)=cos 30=.误区警示 和差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos()coscos.典题热题知识点一 已知角、的三角函数值，求cos(-)的值例1 已知sin=，(,),求cos(-)的值.思路分析：由于是特殊角，根据cos(-)的展开式，只需求出cos的值即可.解：sin=,(,)，cos=.cos(-)=coscos+sinsin=.例2 已知sin=，cos=，、均为第二象限角，求cos(-).思路分析：由cos(-)的展开式可知要求cos(-)的值，还需求出cos、sin.解：由sin=，为第二象限角，co
5、s=.又由cos=，为第二象限角，sin=.cos(-)=coscos+sinsin=.方法归纳 若所求角能用已知角表示出来，则所求角的三角函数值可用已知角的三角函数值表示出来，因此合理进行角的变换是解题的关键.例3 求函数y=cosx+sinx的周期、最值及取得最值时x的集合.思路分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.解：y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2(cosxcos+sinxsin)=2cos(x-).所以所求周期为2.当x-=2k,kZ，即x|x=+2k,kZ时，ymax=2；同理,可知当x|x=-+2k,kZ时，ymin=-2.例4 已知cos+c
6、os=,sin+sin=，求cos(-)的值.思路分析：由于两角和、差的余弦公式与同名的两个三角函数的积有关，根据条件，将其平方后即可构造出同名的三角函数之积的形式.解：将cos+cos=,sin+sin=的两边分别平方并整理，得cos2+cos2+2coscos=,sin2+sin2+2sinsin=.把上述两式的两边分别相加，得2+2(coscos+sinsin)=1,即cos(-)=.方法归纳 要牢记C-的展开式的特点，着眼于式子结构形式的变换是解好本题的关键.知识点二 利用两角差的余弦公式证明三角恒等式例5 利用差角余弦公式证明下列等式：(1)cos(-)=-cos；(2)cos(-)
7、=-sin.思路分析：直接利用差角余弦公式展开，利用特殊角的三角函数值化简证明.证明：(1)cos(-)=coscos+sinsin=-cos+0sin=-cos;(2)cos(-)=coscos+sinsin=0cos-1sin=-sin.例6 证明cos+sin=2cos(-).思路分析：由于右边是我们熟悉的两角差的余弦形式，所以可从展开右边入手，把复角的三角函数转化成两单角的三角函数的形式.证明：右边=2(coscos+sinsin)=cos+sin=左边，原式成立.知识点三 逆用两角差的余弦公式化简三角函数式例7 化简下列各式：(1)cos(+)cos+sin(+)sin；(2)cos
8、50cos20+cos40sin20.思路分析：逆用两角差的余弦公式化简的关键是观察题目的特点，从整体出发，利用诱导公式，转化成两角差的形式.逆用公式求值是一种常见思路.解：(1)原式=cos(+)-=cos；(2)原式=cos50cos20+sin50sin20=cos(50-20)=cos30=.方法归纳 通过对变换对象和变换目标进行对比、分析，逐步学会如何根据题设与结论的特点选择公式、变形公式，从而找到两者间的联系是我们学习的关键，为此可从角的角度、函数名称的角度及式子结构形式的角度入手去分析解决问题.问题探究思想方法探究问题 在三角恒等变换中，角的变换是解决问题的有效手段，在本节当中，
9、角有哪些变换方法？在解题中如何应用？探究过程:角的代换的实质是根据解题的需要灵活处理角的形式，也就是将单角、倍角的形式变成几个角的和或差，而这些角的和或差在题目中已知，如：若、均为锐角，且cos=,cos(+)=，求cos的值.如果展开cos(+)进行运算则烦琐难解，但若利用=(+)-代换，也就是cos=cos(+)-，则解法十分简便，大大降低问题的难度.探究结论:本节涉及角的以下几种变换，在以后解题中常常见到，请你多加注意.常见的角的代换关系有：=(+)-；=-(-)；=(+)-；2=(+)+(-)；2=(+)-(-)等.方案设计探究问题 在自然界中，存在着大量的周期函数，研究这些周期函数有
10、利于我们在科学技术中加以应用.两个周期函数合成后，是否还是周期函数？如果是周期函数，那么函数的类型是否发生了改变?比如两个正弦电流i1=sin(100t+)和i2=sin(100t-)合成后是否仍是正弦电流呢？类似地，两个声波和光波合成后又是怎样的？探究思路:利用现代信息技术作一研究，可以按下面的程序进行操作，也可以设计其他的研究方案.1.上网搜寻并安装绘图软件；2.分别选取不同的函数y=asinx+bcosx，猜想你所选取的y=asinx+bcosx的化简后的类型，再利用绘图工具绘制出其图象，并与y=asinx+bcosx的图象对比；3.尝试确定猜测的该类型函数中的参变量与y=asinx+b
11、cosx中a、b的关系，得出asinx+bcosx的化简公式；4.尝试采用不同的方法证明得出的结论，并说明与其相关联的三角变换公式之间的联系；5.利用结论求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅、周期、初相.探究结论:由于两电流分别为i1=sin(100t+)，i2=sin(100t-)，将它们相加后，可以写成i=i1+i2=sin(100t+)+sin(100t-)，利用正弦的和角公式S(+)，可得到i=(sin100tcos+cos100tsin)+(sin100tcos-cos100tsin).整理得到i=sin100t+cos100t.此式可以写成i=2(sin100t+cos100t)=2(cossin100t+sincos100t)=2sin(100t+).这样就得到了一个频率仍然为100 rad/s的正弦电流(单位：A).通过大学习，进一步树牢“四个意识”、增强“四个自信”，切实把思想行动统一到党的十九大决策部署和习近平总书记对四川工作重要指示精神上来
