《高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1_2 绝对值不等式 1_2_1 绝对值三角不等式课堂导学案 新人教a版选修4-51》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1_2 绝对值不等式 1_2_1 绝对值三角不等式课堂导学案 新人教a版选修4-51（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、要深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神，尤其要学深悟透习近平新时代中国特色社会主义思想“四川篇”1.2.1 绝对值三角不等式课堂导学三点剖析一、利用绝对值三角不等式证明不等式【例1】 已知|x-a|,0|y-b|,y(0,M),求证:|xy-ab|.思路分析:由于题设和结论相差很远,为了能整体运用上条件,应先对结论式的左端进行配凑.证明:|xy-ab|=|xy-ya+ya-ab|=|y(x-a)+a(y-b)|y|x-a|+|a|y-b|,左边=,|a+b|a|+|b|,.+1.从而有左边右边.温馨提示 先把右边放缩,再转化用绝对值三角不等式与左边“挂钩”.也可构造函数f(
2、x)=在x0,+)上f(x)单调递增,从而证明之.各个击破类题演练1求证:c的充要条件是|a|c且|b|c.证明:先证必要性.|a|=|c,|a|c.|b|=|c,|b|c.再证充分性.(1)当|a|b|时,a2b2,即(a+b)(a-b)0,此时与同号或其中之一为0,则=|=|a|c.(2)当|a|b|时,a2b2,即(a+b)(a-b)0,即与异号,|+|=|-|=|b|c.当|a|c,|b|c时,|+|c.故|+|c|a|c且|b|c.变式提升1已知a、b、cR,求证:.证明:设f(x)=(x0),可知当x0时,f(x)为增函数.0|a+b+c|a|+|b|+|c|,f(|a|+|b|+
3、|c|)f(|a+b+c|),得二、应用绝对值三角不等式等号成立的条件解题【例3】 (1)设a、bR且|a+b+1|1,|a+2b+4|4,求|a|+|b|的最大值.解析：|a+b|=|(a+b+1)-1|a+b+1|+|-1|1+1=2,|a-b|=|3(a+b+1)-2(a+2b+4)+5|3|a+b+1|+2|a+2b+4|+531+24+5=16.(1)当ab0时,|a|+|b|=|a+b|2;(2)当ab0,|a|+|b|=|a|+|-b|=|a+(-b)|16.总之,恒有|a|+|b|16.而a=8,b=-8时,满足|a+b+1|=1,|a+2b+4|=4,且|a|+|b|=16.
4、因此|a|+|b|的最大值为16.(2)若f(x)=x2-2x+c,|x1-x2|2,|x2|1,求证:|f(x1)-f(x2)|12.证明:|f(x1)-f(x2)|=|x12-2x1+c-x22+2x2-c|=|(x1-x2)(x1+x2-2)|=|x1-x2|x1+x2-2|2|x1+x2-2|=2|(x1-x2)+(2x2-2)|2(|x1-x2|+|2x2-2|)4+2|2x2-2|4+2(|2x2|+|-2|)4+4+4=12.|f(x1)-f(x2)|12.类题演练2已知|a|1,|b|1,求证:|1.证明:由|a|1,|b|0,1b0,则|=1,从而|1.变式提升2证明对于任意
5、实数t,复数z=+i的模r,适合不等式r.证明:r=,为证对于任意实数t有r,只要证|cost|+|sint|即可.(1)当ktk+(kZ)时,则sintcost0,依推论1,|cost|+|sint|=|sint+cost|=|sin(t+)|(2)当k+t(k+1)(kZ)时,sintcost0,依推论1,|cost|+|sint|=|-cost|+|sint|=|sint-cost|=|sin(t-)|.总之,对于任意实数t,有|cost|+|sint|成立,即有r成立.三、绝对值三角不等式的其他应用【例4】 (1)若不等式|x-4|+|x-3|a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.
6、解析：由|x-4|+|x-3|(x-4)-(x-3)|=1,得|x-4|+|x-3|min=1,故a的取值范围是a|a0且cosx0,则上式=|cosx-cosy|=cosy-cosx,故应选B.答案:B(3)解方程|x|+|logax|=|x+logax|(a1).解析:由当且仅当ab0,|a+b|=|a|+|b|知原方程等价于xlogax0,又x0,即logax0,解得x1.所以原方程的解集是x|x1.类题演练3(1)方程|2x-1|+|x-2|=|x+1|的实数解为_解析:原方程可化为|2x-1|+|2-x|=|(2x-1)+(2-x)|,依推论1,它等价于(2x-1)(2-x)0,x2
7、.答案: x2(2)解不等式|x2-2x-3|+|x2-2x-8|5.解析:原不等式可化为|x2-2x-3|+|8+2x-x2|(x2-2x-3)+(8+2x-x2)|,依推论2,它等价于(x2-2x-3)(8+2x-x2)0.x-2或-1x4.变式提升3已知f(x)=x2+ax+b(a、bR)的定义域为-1,1,且|f(x)|M成立,求M的最小值.解:由题意知M是|f(x)|在-1,1上的最大值.|f(0)|=|b|M,|f(1)|=|1+a+b|M,|f(-1)|=|1-a+b|M.由以上三式,有2=|(1+a+b)+(1-a+b)-2b|1+a+b|+|1-a+b|+2|b|4M,得M,即M的最小值为.通过大学习，进一步树牢“四个意识”、增强“四个自信”，切实把思想行动统一到党的十九大决策部署和习近平总书记对四川工作重要指示精神上来
