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1、要深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神，尤其要学深悟透习近平新时代中国特色社会主义思想“四川篇”第一章第二节任意角的三角函数第一课时教学分析学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部
2、联系，使得我们在讨论三角函数的问题时，对于研究哪些问题以及用什么方法研究这些问题等，都可以从圆的性质(特别是对称性)中得到启发三角函数的研究中，数形结合思想起着非常重要的作用利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质激发学生对数学研究的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境三维目标1通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三
3、角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号2通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等3正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来4能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号；利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值用几何形式表示课时安排2课时第1课时作者：范福太，上杭县明强中学教师，
4、本教学设计获福建省教学设计大赛二等奖一、复习引入、回想再认(情景1)我们在初中通过直角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？图1学生口述后再投影展示，教师再根据投影进行强调：sin，cos，tan设计意图学生在初中学习了锐角的三角函数概念，现在学习任意角的三角函数，又是一种推广和拓展的过程(类似于从有理数到实数的扩展)温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少二、引申铺垫、创设情景(情景2)我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试
5、试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对个别学生作启发引导能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到(否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数设计意图从学生现有知识水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生认知冲突，进行必要的启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的“再创造”征程教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景：请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义！师生共做(学生口述，教师板书图形和比值)
6、：把锐角安装(如何安装？角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合)在直角坐标系中，在角终边上任取一点P，作PMx轴于M，构造一个RtOMP，则MOP(锐角)，设P(x，y)(x0、y0)，的邻边OMx，对边MPy，斜边长|OP|r.图2根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角的正弦、余弦、正切三个比值，并补充对应列出三个倒数的比值：sin，cos，tan.？ ？设计意图此处做法简单，思想重要为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形初中以直角三角形边角关系来定义锐角三角函数，现在要用坐标系来研究，探索的结论既要满足任意角的情形，又要
7、包容初中锐角三角函数的定义这是一个认识的飞跃，是理解任意角三角函数概念的关键之一，也是数学发现的重要思想和方法，属于策略性知识，能够形成迁移能力，为学生在以后学习中对某些知识进行推广拓展奠定了基础(情景3)思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP的长r1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：siny；cosx；tan.思考上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利于推广到任意角呢？本节课就研究这个问题任意角的三角函数.先
8、让学生想象思考，作出主观判断，再用几何画板动画演示，同时作好解释说明：引导学生观察图3，联系相似三角形知识，探索发现：对于锐角的每一个确定值，三个比值都是确定的，不会随P在终边上的移动而变化图3三、探究新知1探究：结合上述锐角的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了所以，我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆2思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数？如图4，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：图4(
9、1)y叫做的正弦(sine)，记做sin，即siny；(2)x叫做的余弦(cossine)，记做cos，即cosx；(3)叫做的正切(tangent)，记做tan，即tan(x0)注意：当是锐角时，此定义与初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在)；当不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x，y)，从而就必然能够最终算出三角函数值设计意图初中学生对函数理解较肤浅，这里在学生思维的最近发展区进一步研究初中学过的锐角三角函数，在思维上更上了一个层次，扣准函数概念的内涵，突出变量之间的依赖关系或对应关系，是从函数知识演绎到三角函数知识的主要依据，是准
10、确理解三角函数概念的关键，也是在认知上把三角函数知识纳入函数知识结构的关键这样做能够使学生有效地增强函数观念四、探索定义域(情景4)1.函数概念的三要素是什么？函数三要素：对应法则、定义域、值域正弦函数sin的对应法则是什么？正弦函数sin的对应法则，实质上就是sin的定义：对的每一个确定的值，有唯一确定的比值与之对应，即sin.2布置任务情景：什么是三角函数的定义域？请求出三个三角函数的定义域，填写下表：三角函数sincostan定义域引导学生自主探索：如果没有特别说明，那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域，三角函数的定义域自然是指：使比值有意义的角的取值范围关于sin、co
11、s，对于任意角(弧度数)，r0，、恒有意义，定义域都是实数集R.对于tan，k时x0，无意义，tan的定义域是|R，且k教师指出：sin、cos、tan的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟设计意图定义域是函数三要素之一，研究函数必须明确定义域指导学生根据定义自主探索确定三角函数的定义域，有利于在理解的基础上记住它、应用它，也增进对三角函数概念的掌握五、符号判断、形象识记(情景5)能判断三角函数值的正、负吗？试试看！引导学生紧紧抓住三角函数的定义来分析，r0，三角函数值的符号决定于x、y值的正负，根据终边所在位置总结出形象的识记口诀：图5sin：上正下负横为0；cos：左负右正纵为0；
12、tan：交叉正负设计意图判断三角函数值的正负符号，是本章教材的一项重要的知识、技能要求要引导学生抓住定义、数形结合判断和记忆三角函数值的正负符号，并总结出形象的识记口诀，这也是理解和记忆的关键六、例题讲解、理解记忆1自学例1：求的正弦、余弦和正切值2例2：角的终边经过点P(3，4)，求的正弦，余弦及正切值活动：教师留给学生一定的时间，学生独立思考并回答明确可以用角终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角函数，但用单位圆上点的坐标来定义，既不失一般性，又简单，更容易看清对应关系教师要点拨引导学生习惯画图，充分利用数形结合，但要提醒学生注意角的任意性如图6，设是一个任意角，P(x，y)是终边上任意一
13、点，点P与原点的距离r0，那么：图6叫做的正弦，即sin；叫做的余弦，即cos；叫做的正切，即tan(x0)这样定义三角函数，突出了点P的任意性，说明任意角的三角函数值只与有关，而与点P在角的终边上的位置无关，教师要让学生充分思考讨论后深刻理解这一点3例3：求下列三角函数值：(1)sin390；(2)cos；(3)tan(330)活动：引导学生总结终边相同角的表示法有什么特点，终边相同的角相差2的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？为什么？引导学生从角的终边的关系到角之间的关系再到函数值之间的关系进行讨论，然后再用三角函数的定义证明由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数
14、的值相等由此得到一组公式(公式一)：sin(k2)sin，cos(k2)cos，tan(k2)tan，其中kZ.利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0到2(或0到360)角的三角函数值这个公式称为三角函数的“诱导公式一”解：(1)sin390sin(36030)sin30；(2)coscos(2)cos；(3)tan(330)tan(36030)tan30.点评：本题主要是对诱导公式一的考查，利用公式一将任意角都转化到02范围内求三角函数的值七、课堂练习课本本节练习题1、2,3.处理：要求取点用定义求解，针对计算过程提问、点评，理解巩固定义强调：终边在坐标轴上的角叫轴线角，如0、等，今后经常用到轴线角的三角函数值，要结合三角函数定义记熟这些值设计意图及时安排例题讲解，自做教材练习题，一般性与特殊性相结合，进行适量的变式练习，以巩固和加深对三角函数概念的理解，通过课堂积极主动的练习活动进行思维训练，把“培养学生分析解决问题的能力”贯穿在每一节课的课堂教学始终八、回顾小结、建构网络要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记，提问检查并强调：1你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的？或者说任意角三角函数具体是怎样定义的？(建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合在终边上任意取定一点P)2你如何
