《浙江专用2018年高考数学一轮复习第七章不等式7_4基本不等式及不等式的应用课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专用2018年高考数学一轮复习第七章不等式7_4基本不等式及不等式的应用课件（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的应用,高考数学 (浙江专用),考点一 基本不等式 1.(2013山东,12,5分)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当 取得最大值时, + - 的最大值为 ( ) A.0 B.1 C. D.3,五年高考,答案 B 由x2-3xy+4y2-z=0, 得z=x2-3xy+4y2, = = . 又x,y,z为正实数, + 4, 当且仅当x=2y时取等号,此时z=2y2. + - = + - =- + =- +1,当 =1,即y=1时,上式有最大值1,故选B.,评析 本题考查基本不等式的应用、二次函数求最值等知识,考查学生的运算能力.,2
2、.(2017山东文,12,5分)若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .,答案 8,解析 本题考查基本不等式及其应用. 由题设可得 + =1,a0,b0, 2a+b=(2a+b) =2+ + +24+2 =8 . 故2a+b的最小值为8.,3.(2017天津文,13,5分)若a,bR,ab0,则 的最小值为 .,答案 4,解析 本题考查基本不等式的应用. a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立), =4ab+ , 由于ab0,4ab+ 2 =4 当且仅当4ab= 时“=”成立 , 故当且仅当 时, 的最小值为4.,规律方法 利用基本
3、不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一 致.,4.(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是 .,答案,解析 b2+c22bc,即2(b2+c2)b2+c2+2bc=(b+c)2,b2+c2 ,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+b2 +c2=1,得1-a2=b2+c2 = ,a2 ,- a , 故a的最大值为 .,5.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是 .,答案 8,解析 sin A=2sin Bsin
4、 C, sin(B+C)=2sin Bsin C, 即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C) =- = , 又ABC为锐角三角形, tan A= 0,tan B+tan C0,tan Btan C1, tan Atan Btan C= tan Btan C = , 令tan Btan C-1=t,则t0,tan Atan Btan C= =2 2(2+2)=8,当且仅当t= ,即tan Btan C=2时,取“=”. tan Atan Btan C的最小值为8
5、.,6.(2013天津,14,5分)设a+b=2,b0,则当a= 时, + 取得最小值.,答案 8,解析 a+b=2, + = + = + = + + +2 = + 1. 当且仅当 = 且a0,即b=-2a,a=-2时, + 取得最小值.,评析 本题主要考查均值不等式及其应用,着重考查运算变形能力.,考点二 不等式的综合应用 1.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)= 设aR,若关于x的不等式f(x) 在R上恒 成立,则a的取值范围是( ) A. B. C.-2 ,2 D.,答案 A 本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题. 当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于-x2
6、+x-3 +ax2-x+3在R上恒成立, 即有-x2+ x-3ax2- x+3在R上恒成立.由y=-x2+ x-3图象的对称轴为x= ,可得在x= 处取得最大值- ;由y=x2- x+3图象的对称轴为x= ,可得在x= 处取得最小值 ,则- a . 当x1时,关于x的不等式f(x) 在R上恒成立等价于- +ax+ 在R上恒成立,即 有- a + 在R上恒成立,由于x1,所以- -2 =-2 ,当且仅当x= 时 取得最大值-2 ;因为x1,所以 x+ 2 =2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2 a2. 由可得- a2,故选A.,思路分析 讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-
7、x2+ x-3ax2- x+3,再 由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得- a + ,再利用 基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.,2.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)= |sin 2x|,ai= ,i=0,1,2,99.记Ik=|fk(a1)-fk (a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3,则 ( ) A.I1I2I3 B.I2I1I3 C.I1I3I2 D.I3I2I1,答案 B ai0,1,且a0f3(a24). f3
8、(a49)= = sin , f3(a50)= = sin ,即有f3(a49)=f3(a50). f3(a74)= = sin , f3(a75)= = sin = sin f3(a74). 故有f3(a0)f3(a1)f3(a24)f3(a25),f3(a25)f3(a26)f3(a49)=f3(a50), f3(a50)f3(a75)f3(a99). 从而I3=f3(a1)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a24)+f3(a25)-f3(a26)+f3(a49)-f3(a50)+f3(a51)-f3(a50)+f3 (a74)-f3(a73)+f3(a74)-f3(a75)+f3(a
9、98)-f3(a99)=f3(a25)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a50)+f3(a74)-f3(a50)+f3(a74) -f3(a99)=2f3(a25)-2f3(a50)+2f3(a74)-f3(a0)-f3(a99)= - + = sin - sin + sin = . 而sin sin = ,sin = 1. 所以I2I1I3.,3.(2013课标全国,11,5分)已知函数f(x)= 若|f(x)|ax,则a的取值范围是 ( ) A.(-,0 B.(-,1 C.-2,1 D.-2,0,答案 D 由题意作出y=|f(x)|= 的图象(如图). 由题意结合图象知,当a0时,y=
10、ax与y=ln(x+1)在x0时必有交点,所以a0.当x0时,|f(x)|ax显 然成立;当x0时,|f(x)|=x2-2xax,则ax-2恒成立,又x-2-2,a-2.综上,-2a0,故选D.,评析 本题考查了函数的综合应用,考查了数形结合的能力.借助基本初等函数的图象缩小参数 范围是解题关键.,4.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存 储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是 .,答案 30,解析 本题考查基本不等式及其应用. 设总费用为y万元,则y= 6+4x=4 240. 当且仅当x= ,即x=
11、30时,等号成立.,5.(2013浙江文,16,4分)设a,bR,若x0时恒有0x4-x3+ax+b(x2-1)2,则ab= .,答案 -1,解析 令x=0,有0b1,令x=1,有a+b=0,b=-a,x4-x3+ax+b=x4-x3-b(x-1)=(x-1)(x3-b). 由(x-1)(x3-b)0对x0恒成立知b=1,否则b0,1),当x( ,1)时,有x-10.从而(x-1)(x3-b) 0,矛盾.b=1,故a=-1,即ab=-1.,6.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+ a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是 .,答案,解析 令f(x)=|2x-
12、1|+|x+2|,易求得f(x)min= ,依题意得a2+ a+2 -1a .,7.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+ ,x0,1.证明: (1)f(x)1-x+x2; (2) f(x) .,证明 (1)因为1-x+x2-x3= = , 由于x0,1,有 ,即1-x+x2-x3 , 所以f(x)1-x+x2. (2)由0x1得x3x,故f(x)=x3+ x+ =x+ - + = + , 所以f(x) . 由(1)得f(x)1-x+x2= + , 又因为f = ,所以f(x) . 综上, f(x) .,疑难突破 (1)将证明f(x)1-x+x2转化为证明1-x+x2-x3 成
13、立,而左边= = =右边,从而问题得证. (2)运用放缩思想,由0x1x3x,从而f(x)=x3+ x+ ,而x+ =x+ - + = + ,由(1)及f = 得f(x) ,从而问题得证.,8.(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若abcd,则 + + ; (2) + + 是|a-b|c-d|的充要条件.,证明 (1)因为( + )2=a+b+2 ,( + )2=c+d+2 , 由题设a+b=c+d,abcd得( + )2( + )2. 因此 + + . (2)(i)若|a-b|cd. 由(1)得 + + . (ii)若 + + , 则( +
14、 )2( + )2, 即a+b+2 c+d+2 . 因为a+b=c+d,所以abcd.于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab + 是|a-b|c-d|的充要条件.,9.(2015湖南,16(3),6分)设a0,b0,且a+b= + .证明: (1)a+b2; (2)a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,证明 由a+b= + = ,a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假设a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛 盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,评析 本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证
15、法等知识.难度不大. 以下为教师用书,10.(2013湖南,20,13分)在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路 径称为M到N的一条“L路径”.如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”. 某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x轴上方 区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心. (1)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明); (2)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位 置,使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小.,解析 设点P的坐标为(x,y). (1)点P到居民区A的“L路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,xR,y0,+). (2)由题意知,点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d)的最小值. 当y1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|. 因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-1
