《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_3 双曲线 2_3_2 双曲线的简单性质导学案 北师大版选修1-11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_3 双曲线 2_3_2 双曲线的简单性质导学案 北师大版选修1-11（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一年来,虽然作了一些工作,但与上级要求和职工期望还有较大差距,现根据民主生活会的要求,结合本次民主生活批评与自我批评这一主题2.3.2双曲线的简单性质学习目标1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.知识点一双曲线的简单性质思考类比椭圆的简单性质，结合图像，你能得到双曲线1(a0，b0)的哪些性质？答案范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.梳理标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心
2、：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)知识点二双曲线的离心率思考1如何求双曲线的渐近线方程？答案将方程1(a0，b0)右边的“1”换成“0”，即由0得0，如图，作直线0，在双曲线1的各支向外延伸时，与两直线逐渐接近，把这两条直线叫作双曲线的渐近线.思考2椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图像的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案双曲线1的各支向外延伸逐渐接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于的值，设e，则.当e的值逐渐增大时，的值增大，
3、双曲线的“张口”逐渐增大.梳理双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率，其取值范围是(1，).e越大，双曲线的张口越大.知识点三双曲线的相关概念1.双曲线的对称中心叫作双曲线的中心.2.实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线是yx.类型一由双曲线方程研究其性质例1求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.解将9y24x236变形为1，即1，所以a3，b2，c，因此顶点坐标为(3，0)，(3，0)；焦点坐标为(，0)，(，0)；实轴长是2a6，虚轴长是2b4；离心率e；渐近线方程为yxx.反思与感悟由双曲线的方程研究其性质的解题步骤(1)把双
4、曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的简单性质.跟踪训练1求双曲线9y216x2144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解把方程9y216x2144化为标准方程1.由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3；c5，焦点坐标是(0，5)，(0，5)；离心率e；渐近线方程为yx.类型二由双曲线的简单性质求标准方程例2求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程.
5、解(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0).由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)设以yx为渐近线的双曲线方程为(0).当0时，a24，2a26；当0时，a29，2a261.双曲线的标准方程为1或1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2(0).将点(2，2)代入双曲线方程，得(2)22，双曲线的标准方程为1.反思与感悟(1)求双曲线的标准方程的步骤确定或分类讨论双曲线的焦点所在的坐标轴；设双曲线的标准方程；根据已知条件或简单性质列方程，求待定系数；求出a，b，写出方程.(2)与双曲线1共焦点的双曲线方程可设为1(0，b20)
6、，则c210k，b2c2a2k.设所求双曲线方程为1或1.将(3，9)代入，得k161，与k0矛盾，无解；将(3，9)代入，得k9.故所求双曲线方程为1.(3)方法一双曲线的渐近线方程为yx，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，无解.若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.A(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.方法二由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0).A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.类型三与双曲线有关的离心率问题命题
7、角度1求双曲线离心率的值例3设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()A. B.C. D.3答案B解析考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|PF2|2a，而|PF1|PF2|3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|PF2|.又已知|PF1|PF2|ab，ab，得(负值舍去).该双曲线的离心率e .引申探究例3条件“|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab”改为“若PF1PF2，且PF1F230”，结果如何？解作出满足题意的几何图形(如图)，利用PF1PF2及PF1F
8、230，求出a，c的关系式.设点P在双曲线右支上.PF1PF2，|F1F2|2c，且PF1F230，|PF2|c，|PF1|c.又点P在双曲线的右支上，|PF1|PF2|(1)c2a，e1.反思与感悟求双曲线离心率的常见方法(1)依据条件求出a，c，再计算e.(2)依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化为离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含的方程，求出后，利用e 求解.跟踪训练3双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c.求双曲线的离心率.解依题意，直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16
9、a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，321030，解得或3.又0a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率的取值范围.解由C与l相交于两个不同点，知方程组有两组不同的实根，消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a且e.即离心率e的取值范围为(，)(，).反思与感悟求离心率的取值范围技巧(1)根据条件建立a，b，c的不等式.(2)通过解不等式得或的取值范围，求得离心率的取值范围.跟踪训练4已知F1，F2是双曲线1(a，b0)的左，右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值
10、范围为()A.(1，) B.(1，)C.(1，1) D.(1，)答案B解析由题设条件可知ABF2为等腰三角形，又直线AB与x轴垂直，所以|AF2|BF2|，故AF2B为钝角.所以有2c，即2acc2a2，解得e(1，).故选B.1.双曲线y21与椭圆1的()A.焦点相同 B.顶点相同C.实轴与长轴相同 D.短轴与虚轴相同答案A解析y21的焦点是(4，0)，1的焦点为(4，0)，故选A.2.设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A.4 B.3 C.2 D.1答案A解析方程表示双曲线，a0，b0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A.
11、B.2C. D.3答案B解析由题意知tan 60，即2bc，则4b23c2可得4c24a23c2，()24，e2.4.等轴双曲线的一个焦点是F1(6，0)，则其标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析等轴双曲线的焦点为(6，0)，c6，2a236，a218.双曲线的标准方程为1.5.设双曲线1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为_.答案yx解析由条件知2b2，2c2，b1，c，a2c2b22，即a.双曲线的渐近线方程为yxx.1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程1(a0，b0)右边的常数“1”换为“0”，就是渐近线方程.反之由渐近线方程axby0变为a2x2b2y2，再结合其他条件求得就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.40分钟课时作业一、选择题1.双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A.2 B.2 C. D.1答案B解析双曲线1的一个焦点为F(4，0)，其中一条渐近线方程为yx，点F(4，0)到xy0的距离为2.2.已知双曲线x21的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是()A.4 B.
