《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2 抛物线 2_2_2 抛物线的简单性质（2）导学案 北师大版选修1-11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_2 抛物线 2_2_2 抛物线的简单性质（2）导学案 北师大版选修1-11（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一年来,虽然作了一些工作,但与上级要求和职工期望还有较大差距,现根据民主生活会的要求,结合本次民主生活批评与自我批评这一主题2.2.2抛物线的简单性质(二)学习目标1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.知识点直线与抛物线的位置关系思考1直线与抛物线有哪几种位置关系？答案三种：相离、相切、相交.思考2若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？答案不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点.梳理直线与抛物线的位置关系与公共点个数.位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点直线ykxb与抛物线y22p
2、x(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数.当k0时，若0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有一个公共点；当0，即k20且16(1k2)0，解得k(1，0)(0，1).所以当k(1，0)(0，1)时，直线l和抛物线C有两个交点.(2)若直线与抛物线有一个交点，则k20或当k20时，0，解得k0或k1.所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点.(3)若直线与抛物线无交点，则k20且1或k1或k1时，直线l和抛物线C无交点.反思与感悟直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方
3、程二次项系数为0的情况.跟踪训练1设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是()A.， B.2，2C.1，1 D.4，4答案C解析准线方程为x2，Q(2，0).设l：yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20.当k0时，x0，即交点为(0，0)；当k0时，由0，得1k0或00.设弦的两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中点为(4，1)，2，k3，适合式.所求直线方程为y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，|P1P2| .方法二设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).则y6x
4、1，y6x2，yy6(x1x2)，又y1y22，3，所求直线的斜率k3，故所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，|P1P2| .反思与感悟中点弦问题解题策略两方法跟踪训练2已知抛物线C1：x24y的焦点F也是椭圆C2：1(ab0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2，过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向.(1)求C2的方程；(2)若|AC|BD|，求直线l的斜率.解(1)由C1方程可知F(0，1)，F也是椭圆C2的一个焦点，a2b21，又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2的图像都关于y轴对称，易得C1
5、与C2的公共点的坐标为(，)，1，又a2b21，a29，b28，C2的方程为1；(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，与同向，且|AC|BD|，x1x2x3x4，(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4，设直线l的斜率为k，则l的方程：ykx1，由可得x24kx40，由根与系数的关系可得x1x24k，x1x24，由得(98k2)x216kx640，由根与系数的关系可得x3x4，x3x4，又(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4，16(k21)，化简得16(k21)，(98k2)2169，解得k，即直线l的斜率为.类型三抛物线中的
6、定点(定值)问题例3在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点.(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点.解(1)由题意知，抛物线的焦点为(1，0)，设l：xty1，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24.所以x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x，得y24ty4b0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24
7、b.因为x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，又4，b24b4，解得b2，故直线过定点(2，0).反思与感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化.跟踪训练3如图，过抛物线y2x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值. 证明方法一设kABk(k0).直线AB，AC的倾斜角互补，kACk(k0)，即直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y后，整
8、理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，4xB，即xB.以k代换xB中的k，得xC.kBC.直线BC的斜率为定值.方法二设B(y，y1)，C(y，y2)，则kBC.kAB，kAC，由题意得kABkAC，则y1y24，则kBC，为定值.1.过点P(0，1)与抛物线y2x有且只有一个交点的直线有()A.4条 B.3条 C.2条 D.1条答案B解析当斜率不存在时，过P(0，1)的直线是y轴，与抛物线y2x只有一个公共点.当斜率存在时，设直线为ykx1.由得k2x2(2k1)x10，当k0时，符合题意；当k0时，令(2k1)24k20，得k.与
9、抛物线只有一个交点的直线共有3条.2.若抛物线y22x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A. B. C. D.答案A解析线段AB所在的直线的方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.3.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|AF|，则AFK的面积为()A.4 B.8 C.16 D.32答案B解析抛物线C：y28x的焦点为F(2，0)，准线为x2，K(2，0).设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B，则B(2，y0)，|AK|AF|，又|AF|AB|x02，由|BK|2|AK|
10、2|AB|2，得y(x02)2，即8x0(x02)2，解得A(2，4).AFK的面积为|KF|y0|448.4.设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上任意一点，若4，则点A的坐标为_.答案(1，2)解析由题意知F(1，0)，设A(，y0)，(，y0)，(1，y0)，由4，可得y02，所以A(1，2).5.已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1，0)，线段AB恰被M(2，1)所平分.(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程；(3)求弦AB的长.解(1)由于抛物线的焦点为(1，0)，所以1，p2，所以所求抛物线的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(
11、x2，y2)，则y4x1，y4x2，且x1x24，y1y22.由得，(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所以2.所以所求直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.(3)得y22y60，y1y22，y1y26，|AB| .求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化.40分钟课时作业一、选择题1.与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()A.2xy30 B.2xy30C.2xy10 D.2xy10答案D解析设直线方程为2xym0，由得x22xm0，44m0，m1，直线方程为2xy10.2.直线ykx2交抛物线y28x于A，B两点，若AB的中点的横坐标为2，则k等于()A.2或1 B.1C.2 D.3答案C解析由题意知得k2x2(4k8)x40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2，即x1x24，x1x24，k2或1，经判别式检验知k2符合题意.3.已知圆C：(x2)2y2r2与抛物线D：y220x的准线交于A，B两点，且|AB|8，则圆C的面积是()A.5 B.9 C.16 D.25答案D解析抛物线D：y220x的准线方程为x5.圆C的圆心(2
