高中数学 第二章 函数 2_1_1 函数 2_1_2 函数的表示方法学习导航学案 新人教b版必修11

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1、一年来,虽然作了一些工作,但与上级要求和职工期望还有较大差距,现根据民主生活会的要求,结合本次民主生活批评与自我批评这一主题2.1.1 函数-2.1.2 函数的表示方法自主整理1.函数的概念设集合A是一个非空的数集,对A内任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数值y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,自变量的取值范围A叫做函数的定义域;如果自变量取值a,则由法则f确定的值y称作函数在a处的函数值,记作y=f(a)或y|x=a.所有函数值构成的集合y|y=f(x),xA叫做函数的值域.2.两个函数的相等函数的定义含有三个要素,即定义域A

2、、值域C和对应法则f.当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数.3.区间(1)在数轴上,区间可以用一条以a,b为端点的线段来表示(如下表).用实心点表示端点包括在区间内,用空心点表示端点不包括在区间内.定义名称符号数轴表示x|axb闭区间a,bx|axb开区间(a,b)x|axb半开半闭区间a,b)x|aa(a,+)x|xa(-,ax|xa(-,a)R(-,+)取遍数轴上所有值4.映射的概念设A、B是两个非空的集合,如果按某种对应法则f,对A内任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.这时,称y是x在映射f的作用下的象,

3、记作f(x).于是y=f(x),x称作y的原象,映射f也可记为f:AB,xf(x).其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广),由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A).5.常用的函数表示法(1)列表法:通过列出自变量与对应函数值的表来表达函数关系的方法;(2)图象法:就是用函数图象来表达函数关系;(3)解析法:如果在函数y=f(x)(xA)中,f(x)是用代数式(或解析式)来表达的,则这种表达函数的方法叫做解析法(也称公式法).6.分段函数在函数的定义域内,对于自变量x的不同的取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.高手笔记1.(1)“y=f(x)”中

4、的“f”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”;(2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,是一个数,而不是f乘x.2.对应法则可以有多种形式给出,可以是解析法,可以是列表法和图象法,不管是哪种形式,都必须是确定的,且使集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应.3.函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种对应就叫映射.A到B的映射与B到A的映射是截然不同的.4.区间和数轴是紧密联系在一起的,在识别和使用区间符号时都不能脱离开数轴.区间端点值的取舍

5、是很容易出错的地方,一定要准确判断是该用小括号还是中括号,正确书写.在用数轴表示时也要注意实心点和空心点的区别.对于某些不能用区间表示的集合就仍用集合符号表示.5.对于分段函数问题,一般要分别转化成在定义域内的每一个区间上来解决.要明确分段函数是一个函数,不是多个函数,只是这个函数较为特殊,不像一般的函数可以用一个解析式表示,而只能分段表示.分段函数的画法要领是根据各段上的函数解析式,分段画出各段的图象.6.若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=fg(x)称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域与(m,n)的交集.名师解惑1.如何理解构成函数的三要

6、素:定义域、对应关系和值域?求值域有几种常用的方法?剖析:(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式:自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,等等);限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习的重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,不容易注意,或者即使注意到,在解题时却忘记用到;实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义.(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题.求法主要有以下几种:配方法(转化为二次

7、函数);判别式法(转化为二次方程);不等式法(运用不等式的各种性质);函数法(运用基本函数性质或抓住函数的单调性、函数图象等).2.函数有哪几种表示法？各有什么优点和不足？剖析:(1)表示函数有三种方法:解析法,列表法,图象法.现实生活中如:商场各种商品与其价格之间的函数关系就是用列表法表示的;房地产公司出售的商品房,总价格与面积之间的函数关系就是用解析式来表示的;工厂每月的产量与月份之间的函数关系是用图表来表示的.(2)表示函数的三种方法的优点与不足,分别说明如下.用解析式表示函数的优点是简明扼要、规范准确.可以利用函数的解析式求自变量x=a时对应的函数值,还可利用函数的解析式列表、描点、画

8、函数的图象,进而研究函数的性质,又可利用函数解析式的结构特点,分析和发现自变量与函数间的依存关系,猜想或推导函数的性质(如对称性、增减性等),探求函数的应用等.不足之处是有些变量与函数关系很难或不能用解析式表示,求x与y的对应值需要逐个计算、有时比较繁杂.列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系,于是一些数学用表应运而生.如用立方表、平方根表分别表示函数.商店职员也制作售价与数量关系的计价表,方便收款.列表法的缺点是只能列出部分自变量与函数的对应值,难以反映函数变化的全貌.用图象表示函数的优点是形象直观,清晰呈现函数的增减变化、点的对称、最大(或小)值等性质.图象法的不足之处是

9、所画出的图象是近似的、局部的,观察或由图象确定的函数值往往不够准确.由于以上表示函数的三种方法具有互补性,因此在实际研究函数时,通常是三种方法交替使用.3.如何理解映射？为什么说映射是一种特殊的对应?剖析:(1)理解映射的概念,必须注意以下几点:方向性,“集合A到集合B的映射”与“集合B到集合A的映射”往往不是同一个映射;非空性,集合A、B必须是非空集合;唯一性,对于集合A中的任何一个元素,集合B中都是唯一确定的元素与之对应,这是映射的唯一性,也可以说“在集合B中”,A中任一元素的象必在集合B中,也叫映射的封闭性.存在性,就是说对集合A中任何一个元素,集合B中都有元素和它对应,这是映射的存在性

10、.(2)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的映射,就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应,而不允许存在“一对多”的对应.映射中对应法则f是有方向的,一般来说从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是不同的.讲练互动【例题1】下列各组中的两个函数表示同一个函数的是( )A.f(x)=x,g(x)=B.f(n)=2n+1(nZ),g(n)=2n-1(nZ)C.f(x)=x-2,g(t)=t-2D.f(x)=,g(x)=1+x解析：两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A中两函数的值域不同;B中虽然定义域和值域都相同,但对应法则不同;C中尽

11、管表示自变量的两个字母不同,但两个函数的三个要素是一致的,因此它们是同一函数;D中两函数的定义域不同.答案：C绿色通道给定两个函数,要判断它们是否是同一函数,主要看两个方面:一看定义域是否相同;二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时,两函数才可称为同一函数.只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数,比如上面对A的判断即属此.变式训练1.判断下列各组中的两个函数是否为同一函数,并说明理由.(1)y=x-1,xR与y=x-1,xN;(2)y=与y=;(3)y=1+与u=1+;(4)y=x2与y=x;(5)y=2|x|与y=分析：判断两个函数是否为同一函数,应着眼于两个

12、函数的定义域和对应法则的比较,而求定义域时应让原始的解析式有意义,而不能进行任何非等价变换,对应法则的判断需判断它的本质是否相同而不是从表面形式上下结论.解：(1)不同,因为它们定义域不同.(2)不同,前者的定义域是x2或x-2,后者的定义域是x2.(3)相同,定义域均为非零实数,对应法则都是自变量取倒数后加1.(4)不同,定义域是相同的,但对应法则不同.(5)相同,将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是y=【例题2】设f,g都是由A到A的映射,其对应法则(从上到下)如下表:表1 映射f的对应法则原象123象231表2 映射g的对应法则原象123象213试求fg(1),gf(2),fg

13、f(3).分析：此题是将映射的概念和复合函数的求值相结合的一道典型的例题,解答此题首先要弄清fg(x)的含义和映射中原象和象的关系,然后再按照有关定义解题.解：g(1)=2,f(2)=3,fg(1)=f(2)=3.又g(3)=3,gf(2)=g(3)=3.f(3)=1,g(1)=2,fgf(3)=fg(1)=f(2)=3.绿色通道读懂对应法则f和g的含义是解题的关键,要弄清在法则f和g的作用下,集合A中的元素在集合A中的象是什么,要掌握象与原象的定义.变式训练2.下列各图中表示的对应,其中能构成映射的个数是( )图2-1-1A.4 B.3 C.2 D.1解析：所谓映射,是指多对一或一对一的对应

14、且A中每一个元素都必须参与对应.只有图(3)所表示的对应符合映射的定义,即A中的每一个元素在对应法则下,B中都有唯一的元素与之对应.图(1)不是映射,因A中的元素c没有参与对应,即违背A中的任一元素都必须参与对应的原则.图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中的元素在B中有多个元素与之对应,不满足A中的任一元素在B中有且仅有唯一元素与之对应的原则.综上,可知能构成映射的个数为1.答案：D3.(2007山东济宁二模,理10)已知A=a,b,c,B=-1,0,1,函数f:AB满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则这样的函数f(x)有( )A.4个 B.6个 C.7个 D.8个解析：对f(a),f(b),f(c)的值分类讨论.当f(a)=-1时,f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个;当f(a)=0时,f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此时满足条件的函数有3个;当f(a)=1时,f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此时满足条件的函数有2个.综上所得,满足条件的函数共