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1、一年来,虽然作了一些工作,但与上级要求和职工期望还有较大差距,现根据民主生活会的要求,结合本次民主生活批评与自我批评这一主题3.3 计算导数学习目标1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数.知识点一导函数思考对于函数f(x)，如何求f(1)、f(x)？f(x)与f(1)有何关系？答案f(1) .f(x) .f(1)可以认为把x1代入导数f(x)得到的值.梳理如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)，f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，
2、是数值在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f(x)f(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数知识点二导数公式表函数导函数yc(c是常数)y0yx (为实数)yx1yax (a0，a1)yaxln ayexyexylogax(a0，a1)yyln xyysin xycos xycos xysin xytan xyycot xy类型一利用导函数求某点处的导数例1求函数f(x)x23x的导函数f(x)，并利用f(x)求f(3)，f(1).解f(x) (x2x3)2x3，即f
3、(x)2x3，f(3)2333，f(1)2(1)35.反思与感悟f(x0)是f(x)在xx0处的函数值.计算f(x0)可以直接使用定义，也可以先求f(x)，然后求f(x)在xx0处的函数值f(x0).跟踪训练1求函数yf(x)5的导函数f(x)，并利用f(x)，求f(2).解yf(xx)f(x)5，f(x) .f(2).类型二导数公式表的应用例2求下列函数的导数.(1)ysin ；(2)yx；(3)ylog3x；(4)y；(5)y5x.解(1)y0.(2)因为所以(3)y(log3x).(4)因为ytan x，所以y(tan x).(5)y(5x)5xln 5.反思与感悟 对于教材中出现的8个
4、基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现cos这样的错误结果.二是准确记忆，灵活变形.如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导.跟踪训练2求下列函数的导数.(1)y(1)(1)；(2)y2cos21.解(1)y(1)(1)(2)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.类型三导数公式的综合应用命题角度1利用导数公式求解切线方程例3已知点P(1，1)，点Q(2，4)是曲线yx2上两点，是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由.解因为y(x2)2x，假设存在与直线PQ
5、垂直的切线.设切点为(x0，y0)，由PQ的斜率为k1，而切线与PQ垂直，所以2x01，即x0.所以切点为(，).所以所求切线方程为y(1)(x)，即4x4y10.引申探究若例3条件不变，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程.解因为y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，由PQ的斜率为k1，而切线平行于PQ，所以2x01，即x0.所以切点为M(，).所以所求切线方程为yx，即4x4y10.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决.跟踪训练3过原点作曲线yex的切线，那么切点的坐标为 ，
6、切线的斜率为 .答案(1，e)e解析设切点坐标为(ex)ex，过该点的直线的斜率为所求切线方程为切线过原点，解得x01.切点坐标为(1，e)，斜率为e.命题角度2利用导数公式求参数例4已知直线ykx是曲线yln x的切线，则k的值等于()A.e B.eC. D.答案C解析y(ln x).设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为yy0(xx0)，即yln x01.直线ykx过原点，ln x010，得x0e，k.反思与感悟解决此类问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程.跟踪训练4已知函数f(x)，g(x)aln x，aR，若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且
7、在交点处有相同的切线，求a的值.解设两曲线的交点为(x0，y0)，由题意知，f(x0)g(x0)，即即点(x0，y0)为两曲线的交点，aln x0，由可得x0e2，将x0e2代入得a.1.下列结论：(sin x)cos x；(log3x)；(ln x).其中正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个答案C解析(log3x)，错误，故选C.2.质点的运动方程是s(其中s的单位为m，t的单位为s)，则质点在t3 s时的速度为()A.434 m/s B.334 m/sC.535 m/s D.435 m/s答案D解析s()4t5，s(3)435.则质点在t3 s时的速度为435 m/s.3.设
8、函数f(x)logax，f(1)1，则a .答案解析f(x)，又f(1)1，a.4.在曲线y上一点P处的切线的斜率为4，则点P的坐标为 .答案(，2)或(，2)解析设P(x0，y0)，y，则4，得x0.当x0时，y02.当x0时，y02，点P的坐标为(，2)或(，2).5.曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 .答案e2解析y(ex)ex，ke2曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1.S1|e2|e2.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函
9、数的结构特征，积极地进行联想与化归.2.有些函数可先化简再求导.如求y12sin2的导数.因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.40分钟课时作业一、选择题1.下列结论中正确的个数为()yln 2，则y；yf(x)，则f(3)；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.A.0 B.1 C.2 D.3答案D解析中yln 2为常数，所以y0.错.2.下列函数中，导函数是奇函数的是()A.ysin x B.yexC.yln x D.ycos x答案D3.若f(x)x3，f(x0)3，则x0的值是(
10、)A.1 B.1 C.1 D.3答案C解析f(x0)3x3，x01.4.设曲线yax2在点(2，4a)处的切线与直线4xy40垂直，则a等于()A. B. C. D.答案C解析由题意知切线的斜率是，y2ax，4a，得a.5.正弦曲线yf(x)sin x上切线的斜率等于的点为()A.(，)B.(，)或(，)C.(2k，)(kZ)D.(2k，)或(2k，)(kZ)答案D解析设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，f(x0)cos x0，x02k或2k，kZ，y0或.6.下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是()A.f(x)ex B.f(x)x3C.f(x)ln x D.f(
11、x)sin x答案D解析若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为1.因为A项中，(ex)ex0，B项中，(x3)3x20，C项中，x0，即(ln x)0，所以不会使切线斜率之积为1，故选D.7.已知f0(x)sin x，f1(x)f(x)，f2(x)f(x)，fn1(x)fn(x)，则f2 014等于()A. B. C. D.答案A解析由已知可得f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，可得fi(x)fi4(x)，i0，1，2，3，.所以f2 014f2sin .二、填空题8.已知f(x)，g(x
12、)mx且g(2)，则m .答案4解析f(x)，g(x)m，f(2)，又g(2)，m4.9.函数yf(x)lg x在点(1，0)处的切线方程为 .答案yxlg elg e解析y(lg x)，则f(1)lg e，切线方程为y(x1)lg e，即yxlg elg e.10.设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为 .答案(1，1)解析因为yex，所以曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01.设P(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点P处的切线斜率k2 (m0).因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1，1).11.已知f(x)cos x，g(x)x，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集为 .答案x|x2k，kZ解析f(x)sin x，g(x)1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，则sin x1，解得x2k，
