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1、一年来,虽然作了一些工作,但与上级要求和职工期望还有较大差距,现根据民主生活会的要求,结合本次民主生活批评与自我批评这一主题四直角三角形的射影定理主动成长夯基达标1.直角三角形斜边上的高把斜边分成的两条线段长分别为6 cm和4 cm,则斜边上的高是()A.10 cm B.2 cm C.2 cm D.24 cm思路解析:直接应用射影定理可求得斜边上的高为26 cm.答案:C2.在RtABC中,C =90,CDAB于D,若ADBD =94,则ACBC的值为()A.94B.92C.34D.32思路解析:本题的关键是表示出AD、BD、AB的长后,用射影定理求出AC、BC的长.设AD =9k,BD =4
2、k,则AB =13k.由射影定理得AC =k,BC =k.从而ACBC =32.答案:D3.如图1-4-8,ABC中,CAB=90,ADBC于D,求证:AB2AC2=BDDC.图1-4-8思路分析:此题直接采用射影定理,答案显而易见.证明:在RtABC中,CAB=90,ADBC,AB2=BDBC,AC2=CDBC.AB2AC2=(BDBC)(CDBC)=BDCD.4.如图1-4-9,ABC中,ABC=90,BDAC于D,BC =25 cm,BD =4 cm,求SBDASCDB.图1-4-9思路分析:求SBDASCDB,实际上是求ADDC,显然结合已知条件,应用射影定理,不难求出AD、DC的长度
3、.解:BDAC, cm,BD =4 cm,由勾股定理得DC =2 cm.在ABC中,ABC=90,BDAC.由射影定理得BD2=ADDC. =.SBDASCDB =ADDC =82 =41.5.如图1-4-10,在RtABC中,BAC=90,AD是高,且AB =2AC,求证:5AD =2BC.图1-4-10思路分析:本题关键是把所求结论“5AD =2BC”与已知条件“AB =2AC”进行联系,而联系两者的根本是射影定理.证明:设AC =x,则AB =2x,由勾股定理得,在RtABC中,ADBC,AC2=CDCB, = = =.AD2=BDCD =.= =,即5AD =2BC.6.如图1-4-1
4、1,在RtABC中,A=90,M为AC中点,MDBC于D.求证:AB2=BD2-CD2.图1-4-11思路分析:看AB2,结合已知条件想到“射影定理”,构造辅助线作出斜边上的高AE,再联系“平行线等分线段定理的推论”可达到证明的目的.证明:过点A作AEBC于E.在RtABC中,由射影定理得AB2=BEBC.MDBC,AEBC,AEMD.又AM =MC,ED =DC(经过三角形一边中点平行于一边的直线,必平分第三边).又BE =BD-ED =BD-CD,两边同乘以BC得BEBC=BC(BD -CD).AB2=(BD +DC)(BD -CD)=BD2-CD2.7.如图1-4-12,已知CD是RtA
5、BC的斜边AB上的高线.求证:CDAC=BCAD.图1-4-12思路分析:分别在三个直角三角形RtABC、RtADC、RtBDC中运用射影定理，有CD2=BDAD,BC2=BDAB,AC2=ADAB，将第一个式子和第三个式子相乘，就有CD2AC2=BDABAD2，将BDAB换成BC2，然后两边开方即得.证明：CD是RtABC的斜边AB上的高线，CD2=BDAD,BC2=BDAB,AC2=ADAB.CD2AC2=BDABAD2,BC2=BDAB.CD2AC2=BC2AD2.CDAC=BCAD.8.如图1-4-13，在RtABC中，BCA90，CD是AB上的高.已知BD =4，AB =29，试求出
6、图中其他未知线段的长.图1-4-13思路分析:本题是利用直角三角形的射影定理进行计算，根据条件直接计算可得结论.解:由已知，BD=4，AB =29，BC2=BDAB， =.AD =AB-BD =29-4=25.AC2=ADAB， =.CD2=ADBD， =.9.如图1-4-14，已知BC2=BDAB，能否推出CDAB？如果认为不能推出，那么试加一个条件，并推出CDAB.图1-4-14思路分析:根据已知条件，只能得到BCD和BAC相似，但不能断定CDAB,必须再附加其他条件.解:根据已知条件，不能推出CDAB.可以添加条件BCA是直角.走近高考10.暑假里，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“
7、竹夹鱼”，个个都长得非常相似，现有两种大小不同的“竹夹鱼”,价钱也不同，如图1-4-15所示，鱼长10 cm的每条10日元；鱼长13 cm的每条15日元.康子不知道买哪种更好些，你看怎么办？图1-4-15思路分析:由相似形可知，两个相似图形大小的比等于相似比，两个相似图形面积的比是相似比的平方，而体积的比则应是相似比的立方.此题是判断两种鱼的体积之比，再看价格之比，决定买哪种鱼好.解：设两条相似的鱼A、B的长分别为10 cm和13 cm，即B与A的长度之比为，则体积之比为= =2.197；又B与A的价格之比为=1.5，这里B种鱼的体积是A种鱼的体积的2.197倍，而价格只是1.5倍，显然，买B
8、种鱼比买A种鱼更划算.11.如图1-4-16，在ABC中,D、F分别在AC、BC上，且ABAC，AFBC，BDDCFC1，求AC.图1-4-16思路分析:由数形结合易知，ABC是直角三角形，AF为斜边上的高线，CF是直角边AC在斜边上的射影，AC为所求，已知的另外两边都在BDC中，且BDDC1，即BDC是等腰三角形.因此，可以过D作DEBC，拓开思路.由于DE、AF同垂直于BC，又可以利用比例线段的性质，逐步等价转化求得AC.解:在ABC中，设AC为x，ABAC，AFBC，又FC1，根据射影定理,得AC2=FCBC，即BCx2.再由射影定理,得AF2=BFFC=(BC-FC)FC，即.AF =
9、x2-1.在BDC中，过D作DEBC于E，BD DC1，BEEC.又AFBC，DEAF.=. =.在RtDEC中，DE2 + EC2 = DC2，即+=12,+ =1.由=, =,整理得x6=4.12.如图1-4-17,在正方形ABCD的边BC和CD上取点H和M,且=,AH和BM相交于点P,求证:AP =9PH.图1-4-17思路分析:由= =,容易证明ABHBCM,从而不难推出BPAH,在ABH中,由=,考虑射影定理确定答案.证明:在正方形ABCD中,= =,= =.= =.又ABH =C =90,ABHBCM,PBH =BAH.又BAH+BHA =90,PBH+BHP =90,即BPAH.在RtABH中,设BH =k,则AB =3k, .AB2=APAH,BH2=PHAH.= = =.AP =9PH.现将本人存在的有关问题和今后的整改方向向各位领导和同志们作简要的汇报,讲得不够的地方请领导和同志们批评指正。
