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1、第一章 集合与函数概念,1.2 函数及其表示,1.2.1 函数的概念,某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？,1.函数的概念 设A，B是非空的_，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的_数x，在集合B中都有_的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.其中x叫
2、做_，x的取值范围A叫做函数yf(x)的_；与x的值相对应的y值叫做_，函数值的集合f(x)|xA叫做函数yf(x)的_，则值域是集合B的_,数集,任意一个,唯一确定,自变量,定义域,函数值,值域,子集,知识点拨 (1)“A，B是非空的数集”，一方面强调了A，B只能是数集，即A，B中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的 (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应，这三个性质只要有一个不满足便不能构成函数,R,x0,R,定义
3、域,对应关系,对应关系,一定相同,定义域不同,a，b,(a，b),a，b),(a，b,知识点拨 并不是所有的数集都能用区间来表示例如，数集M1,2,3,4就不能用区间表示由此可见，区间仍是集合，是一类特殊数集的另一种符号语言只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示,a，),(a，),(，a,(，a),答案 A 解析 从函数的概念来看，一个自变量x对应一个y；而A中xy2中一个x对应两个y. A不是函数,答案 D 解析 只有D是相等的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同,答案 C 解析 f(5)25111，故选C.,函数概念的理解,思路分析 (1)如何利用函数定义对于集合
4、A中的元素通过对应关系在集合B中有唯一元素与之对应进行判断 (2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系 (3)由函数定义可知，任意作一条直线xa，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数,答案 (1)B (2)C 规律总结 1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应 2函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”,(2)(2016甘肃兰州高一月考试题)如图所示，能够
5、作为函数yf(x)的图象的有_,解析 (1)A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数； 对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：xyx2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数； A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；,对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：xy0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数 (2)根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法.,求函数的定义域,规律总结 求函数的定义域： (1)要明确使各函数表达
6、式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：分式的分母不为0；偶次根式的被开方数非负；yx0要求x0. (2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合 (3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接,(2)已知矩形的周长为1，它的面积S与矩形的一条边长x之间的函数关系为_，其定义域为_,相等函数的判断,思路分析 解决此类问题，要充分理解相等函数的概念，准确求出函数的定义域，认准对应关系，按判断相等函数的步骤求解,规律总结从函数的概念可知，函数有定义域、值域、对应法则三要素
7、，其中，定义域是前提，对应法则是核心，值域是由定义域和对应法则确定的因此， (1)当两个函数的定义域不同或对应法则不同，它们就不是同一个函数只有当定义域和对应法则都相同时它们才是相等函数 (2)对应法则f是函数关系的本质特征，要深刻理解，准确把握，它的核心是“法则”通俗地说，就是给出了一个自变量后的一种“算法”，至于这个自变量是用x还是用t或者别的符号表示，那不是“法则”的本质，因此，对应法则与自变量所用的符号无关,(3)从本题我们也得到这样的启示：在对函数关系变形或化简时，一定要注意使函数的定义域保持不变，否则，就变成了不同的函数这也正说明了函数的定义域是函数不可忽视的一个重要组成部分例如f
8、(x)x2x (x1)，f(3)3236，但f(1)是无意义的，不能得出f(1)(1)2(1)2，因为只有当x取定义域1，)内的值时，才能按这个法则x2x进行计算,求函数值,规律总结 此类求值问题，一般要求的式子较多，不能逐个求解，求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的关联，进而去验证，从而得到问题的解决方法,求函数的值域,根据x5，2时的抛物线上升，则 当x5时，y取最小值，且ymin12； 当x2时，y取最大值，且ymax3. 故yx22x3(5x2)的值域是12,3 规律总结 遇到求解一般二次函数yax2bxc(a0)的值域时，应采用配方法，将函数化简为ym(xn)2d的形式，从而
9、轻易找出函数的最值，进而求得函数的值域,规律总结 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子值得注意的是，在代换过程中，要注意根号下变量的取值范围,错因分析 该解法中忽视了区间a，b中的隐含条件am1，即m1这个隐含条件；而集合Bx|m1x2m中的m没有这个隐含条件 思路分析 用区间表示含字母的集合时，字母就有了隐含条件，但用集合表示时，却没有这个限制因此在面对Bx|m1x2m这样的集合时，就要注意讨论m的范围，B可能为空集或只有一个元素的集合 正解 当m1时，AB，但m1时集合B不能用区间A表示,答案 D 解析 判断y是否为x的函数，主要是看是否满足函数的定义，即一对一或多对一，不能一个自变量对应多个y值，故错，正确，故选D.,答案 3,1 解析 32xx20，解得3x1，因此定义域为3,1,答案 C 解析 作x轴的垂线，只有图象C与直线最多有一个交点，即为函数图象，故选C.,
