《高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1_2 圆与直线 1_2_3 弦切角定理学案 北师大版选修4-11》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1_2 圆与直线 1_2_3 弦切角定理学案 北师大版选修4-11（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一年来,虽然作了一些工作,但与上级要求和职工期望还有较大差距,现根据民主生活会的要求,结合本次民主生活批评与自我批评这一主题1.23弦切角定理课标解读1.理解弦切角的定义2掌握弦切角定理，并能解决与弦切角有关的问题3体会分类思想、运动变化思想和化归思想.1弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角2弦切角定理图1239(1)文字语言弦切角等于它所夹弧所对的圆周角；弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半(2)图形语言如图1239，AB与O切于A点，则BACADC.1如图1240所示，CE是O的切线，切点为C，你能说出弦切角BCE与弦切角ACE所夹的弧吗？图1240【提示】弦切
2、角所夹的弧就是指构成弦切角的弦所对的夹在弦切角内部的一条弧，如图所示，弦切角BCE所夹的弧是，弦切角ACE所夹的弧是.2如何正确使用弦切角定理？【提示】要正确使用弦切角定理，第一步要找到弦切角，弦切角的特点是：(1)顶点在圆上；(2)一边与圆相交；(3)一边与圆相切，这三个条件缺一不可第二步要准确地找到弦切角所夹的弧，再看这段弧上的圆周角，再用弦切角定理解题，如果没有圆周角，有这段弧所对的圆心角也行弦切角定理的简单运用图1241如图1241，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且与斜边AB相切于D点，ADDB，G为中点，F为上任一点，求证：CFGEFD.【思路探究】解答本题可先添加辅助线CD，
3、构造弦切角CDB.再利用弦切角定理及直角三角形的性质，求证结论成立【自主解答】连接CD，AB切圆于D点CDBDFC.G为的中点，CDBDFC2CFG.D为直角三角形ACB的斜边中点，CDAD，CDB2DCE.DCEEFD，CFGEFD.1本题在证明过程中，多次使用了角的转化，而转化的依据是弦切角定理和圆周角定理2利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角图1242如图1242，O的弦AB的延长线和切线EP相交于点P，E为切点，APE的平分线和AE、BE分别相交于C、D.求证：ECE
4、D.【证明】PE切O于点E，BEPA，PC平分APE，34，又13A，24BEP，12，ECED.弦切角定理的综合应用图1243如图1243，PA、PB是O的切线，点C在上，CDAB，CEPA，CFPB，垂足分别为D、E、F，求证：CD2CECF.【思路探究】【自主解答】连接CA、CB.PA、PB是O的切线CAPCBA，CBPCAB.又CDAB，CEPA，CFPB，RtCAERtCBD，RtCBFRtCAD，即CD2CECF.1解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中，需用中间量过渡2弦切角定理经常作为工具，进行三角形相似的证明，然后利用三角形相似进一步确定相应边之间的关系，在圆中
5、证明比例式或等积式，常常需要借助于三角形相似处理3弦切角定理有时还与圆周角定理等知识综合运用，它们不但在证明方法上相似，在解题功能上也有相似之处，通常都作为辅助工具出现图1244如图1244，AB为O的直径，弦CDAB，AE切O于A，交CD的延长线于E.求证：BC2ABDE.【证明】连接BD、OD、OC，AE切O于A，EADABD，且AEAB.又ABCD，AECE，E90.AB为O的直径，ADB90，EADB，ADEBAD，AD2ABDE.CDAB，12，34.又知24，13，ADBC，BC2ABDE.(教材第16页练习第2题)已知：ABC内接于O，CADB.(1)AB经过圆心O(图(1)，求
6、证：AD是O的切线；(2)AB不经过圆心O(图(2)，求证：AD是O的切线图1245(2013辽宁高考)如图1246，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.图1246证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.【命题意图】本题主要考查弦切角及圆的有关性质、三角形全等及直角三角形性质等知识【证明】(1)由直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF.从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE
7、，所以BCBF.类似可证RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.图12471如图1247，四边形ABCD是圆的内接四边形，AB是直径，MN是切圆于C点的切线，若BCM38，则B()A32B42C52 D48【解析】如图，连接AC.BCM38，MN是O的切线，BAC38，AB为O的直径，B903852.【答案】C图12482如图1248所示，已知O的直径AB与弦AC的夹角为35，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则P等于()A15 B20C25 D30【解析】如图，连接BC，PC是O的切线，PCBCAB35.又PBCCABACB3
8、590125，P1801253520.【答案】B图12493如图1249所示，已知直线CD与O相切于点C，AB为直径，若BCD40，则ABC的大小等于_【解析】CD是O的切线，ABCD40，ABC904050.【答案】50图12504如图1250，在O中，AB为弦，AC为O的切线，过B点作BDAC于D，BD交O于E点，若AE平分BAD，则ABD_.【解析】由题意知ABDDAEEAB，又ABDDAEEAB90，ABD30.【答案】30一、选择题图12511如图1251所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC()A15B30C45 D
9、60【解析】由题意知，BAC30，ABC60.又直线l是O的切线，C为切点，ACD60，DAC906030.【答案】B图12522已知，如图1252，PA切O于点A，BC是O的直径，BC的延长线交AP于P，AEBP交O于E，则图中与CAP相等的角的个数是()A1 B2C3 D4【解析】如图所示，连接OA、OE，则AOE为等腰三角形OCAE，OC垂直平分AE，ACE为等腰三角形，EACAECCAP.【答案】C3(2013新乡模拟)如图1253，PC与O相切于C点，割线PAB过圆心O，P40，则ACP等于()图1253A20B25 C30D40【解析】如图，连接OC，PC切O于C点，OCPC，P4
10、0，POC50，连接BC，OCOB，BPOC25，ACPB25.【答案】B图12544如图1254，AB是O的直径，EF切O于C，ADEF于D，AD2，AB6，则AC的长为()A2 B3C2 D4【解析】如图，连接BC，由AB是直径，得ACBC，由弦切角定理可知，ACDABC，ABCACD，AC2ABAD6212，AC2.【答案】C二、填空题图12555如图1255，EB，EC是圆O的两条切线，B，C是切点，A，D是圆O上两点，如果E46，DCF32，则A_.【解析】连接OB、OC、AC，BADBACCAD(180E)DCF673299.【答案】996如图1256，已知PA是圆O(O为圆心)的
11、切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC，PAB30，则线段PB的长为_图1256【解析】如图，连接OA，又PA为O切线，OAP90，CPAB30，OBAOAB60，PPAB30，PBAB.又AC，BC为O直径，CAB90，AB1，PB1.【答案】1三、解答题图12577(2013洛阳模拟)如图1257所示，ABT内接于O，过点T的切线交AB的延长线于点P，APT的平分线交BT、AT于C、D.求证：CTD为等腰三角形【证明】PD是APT的平分线，APDDPT.又PT是圆的切线，BTPA.又TDCAAPD，TCDBTPDPT，TDCTCD，CTD为等腰三角形图12588如图1258，AD是ABC的角平分线，经过点A、D的O和BC切于D，且与AB、AC相交于E、F，连接DF.求证：EFBC.【证明】O切BC于D，CADCDF，AD是ABC的角的平分线，BADCAD，又BADEFD，EFDCDF，EFBC.图12599如图1259，已知AB为O直径，P为AB延长线上一动点，过点P作O的切线，设切点为C.(1)请你连接AC，作APC的平分线，交AC于点D，测量CDP的度数；(2)CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请你猜想并证明【解】(1)连接AC，作APC的平分线，交AC于点D，测量结果：CDP45.(2)猜想CDP45不变连接BC.CDP45.10.如图所示，
