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1、(四)函数与导数(2)1(2018成都模拟)已知f(x)ln xax1(aR)(1)讨论函数的单调性；(2)证明：当a2，且x1时，f(x)ex12恒成立(1)解 f(x)ln xax1，aR，f(x)a，当a0时，f(x)的增区间为(0，)，无减区间，当a0时，增区间为，减区间为.(2)证明当x1，)时，由(1)可知当a2时，f(x)在1，)上单调递减，f(x)f(1)1，再令G(x)ex12，在x1，)上，G(x)ex10，G(x)单调递增，所以G(x)G(1)1，所以G(x)f(x)恒成立，当x1时取等号，所以原不等式恒成立2(2018合肥模拟)已知函数f(x)xln x，g(x)(x2
2、1)(为常数)(1)若函数yf(x)与函数yg(x)在x1处有相同的切线，求实数的值；(2)当x1时，f(x)g(x)，求实数的取值范围解(1)由题意得f(x)ln x1，g(x)2x，又f(1)g(1)0，且函数yf(x)与yg(x)在x1处有相同的切线，f(1)g(1)，则21，即.(2)设h(x)xln x(x21)，则h(x)0对x1，)恒成立h(x)1ln x2x，且h(1)0，h(1)0，即120，.另一方面，当时，记(x)h(x)，则(x)2.当x1，)时，(x)0，(x)在1，)内为减函数，当x1，)时，(x)(1)120，即h(x)0，h(x)在1，)内为减函数，当x1，)时
3、，h(x)h(1)0恒成立，符合题意当时，若0，则h(x)1ln x2x0对x1，)恒成立，h(x)在1，)内为增函数，当x1，)时，h(x)h(1)0恒成立，不符合题意若00，则1x(1)120，即h(x)0，h(x)在内为增函数，当x时，h(x)h(1)0，不符合题意，综上所述，的取值范围是.3(2018山东省名校联盟模拟)已知f(x)xexa(x1)2.(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)当x2时，f(x)0，求a的取值范围解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)，若函数f(x)在x1处取得极值，则f(1)0，所以a，经检验，当a时，函数f(x)在x
4、1处取得极值(2)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)，a0时，当2x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)为增函数；又f(1)0，当x2时，f(x)0成立a1，即a时，当2xln(2a)时，f(x)0；当1xln(2a)时，f(x)0，则f(x)在(2，1)，(ln(2a)，)上为增函数，在(1，ln(2a)上为减函数，又f(1)0，f(x)在(1，ln(2a)上小于零，不符合题意，舍去当ln(2a)1，即a时，当2x1时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增，又f(1)0，当x(2，1)时，f(x)0，不符合题意，舍去；当2ln(2a)1，即a时，当2x1时，f(x)
5、0，当ln(2a)x1时，f(x)0，则f(x)在(2，ln(2a)，(1，)上为增函数，在(ln(2a)，1)上为减函数，又f(1)0，要使f(x)0恒成立，则f(2)0，则a，又a，a.当ln(2a)2，即a1时，f(x)0，当2x1时，f(x)0时，xexeln xx3x2.(1)解由题意可知，g(x) f(x)xaaex，则g(x)1aex，当a0时，g(x)0，g(x)在(，)上单调递增；当a0时，当x0，当xln a时，g(x)0时，g(x)的单调递增区间为(，ln a)，单调递减区间为(ln a，)(2)解由(1)可知，a0，且g(x)在xln a处取得最大值，g(ln a)ln
6、 aaaealn a1，即aln a10，观察可得当a1时，方程成立，令h(a)aln a1(a0)，h(a)1，当a(0,1)时，h(a)0，h(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，h(a)h(1)0，当且仅当a1时，aln a10，f(x)x2xex，由题意可知f(x)g(x)0，f(x)在0，)上单调递减，f(x)在x0处取得最大值f(0)1.(3)证明由(2)知，若a1，当x0时，f(x)1，即x2xex1，x3x2xexx，x3x2xexeln xeln xx，令F(x)eln xx，F(x)1，当0x0；当xe时，F(x)0，F(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)
7、上单调递减，F(x)F(e)0，即eln xx0，x3x2xexeln x0时，xexeln xx3x2.5(2018四省名校大联考)已知函数f(x)a(x1)2ex(aR)(1)当a时，判断函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)求实数a的取值范围；证明：f(x1)0，得x0，由g(x)1ex0，g(x)即f(x)在区间(，0)上单调递增，在区间(0，)上单调递减f(x)maxf(0)0.对xR，f(x)0，f(x)在R上单调递减(2)解f(x)有两个极值点，关于x的方程f(x)2a(x1)ex0有两个根x1，x2，设(x)2a(x1)ex，则(x)2aex，当a0时，(x)2aex0 时，由(x)0，得xln 2a，由(x)ln 2a，(x)即f(x)在区间(，ln 2a)上单调递增，在区间(ln 2a，)上单调递减且当x时，f(x)，当x时，f(x)，要使f(x)0有两个不同的根，必有f(x)maxf(ln 2a)2a(ln 2a1)2a2aln 2a0，解得a，实数a的取值范围是.证明f(1)0，1x10，又f(x1)2a(x11)ex10，a，f(x1)a(x11)2(x11)(x11)(1x10)，令h(x)(x1)ex(1x0)，则h(x)xex0，h(x)在区间(1,0)上单调递减，f(0)f(x1)，f(1)，f(x1).
