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1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作考点23 数列求和及综合应用一、填空题1.(2015新课标全国卷理科T16)设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.【解题指南】由an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn,得1Sn+1-1Sn=-1,构造数列1Sn,求Sn.【解析】由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn,得得，构造数列，求.【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以答案
2、:-1n2. (2015江苏高考T11)数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*),则数列的前10项和为.【解题指南】利用累加法求出数列an的通项公式,再利用裂项相消法计算的前10项和.【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+2+1=,所以,所以的前10项和=.答案: 3.(2015福建高考理科T15)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*),其中xk(k=1,2,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2
3、x7的码元满足如下校验方程组:x4x5x6x7=0,x2x3x6x7=0,x1x3x5x7=0,其中运算定义为:00=0,01=1,10=1,11=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.【解题指南】根据题中所给信息解题.【解析】根据题意,列出检验方程组, 显然第一个式子和第三个式子错误,第二个式子没有影响,所以错误的应该出现在第一个式子和第三个式子都有而第二个式子没有的码元,只有x5,验证一下把x5换成0,上式检验方程组都成立,所以x5出错了,即k=5.答案:5二、解答题4.(2015浙江高考理科T20)已知数列a
4、n满足a1=12且an+1=an-an2(nN*).(1)证明:1anan+12(nN*).(2)设数列an2的前n项和为Sn,证明12(n+2)Snn12(n+1)(nN*).【解题指南】（1）首先根据递推公式可得，再由递推公式变形可知，从而得证；（2）由和得，从而得，即可得证.【证明】（1）由题意得，即，由得，由得，即（2）由题意得，所以，由和得，所以所以，由得.5. (2015广东高考理科T21)数列an满足a1+2a2+nan=4-n+22n-1,nN*.(1)求a3的值.(2)求数列an的前n项和Tn.(3)令b1=a1,bn=Tn-1n+1+12+13+1nan(n2),证明:数列
5、bn的前n项和Sn满足Sn1时，所以，又因为也适合此式，所以数列故. (3) 记f(x)=lnx+1x-1(x1), 则f(x)=1x-1x2=x-1x20,所以f(x)在(1,+)上是增函数,又f(1)=0即f(x)0,又k2且kN*时, ,6. (2015广东高考文科T19)设数列an的前n项和为Sn,nN*.已知a1=1,a2=32,a3=54,且当n2时,4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn-1.(1)求a4的值.(2)证明:an+1-12an为等比数列.(3)求数列an的通项公式.【解题指南】（1）令可得的值；（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由（2）
6、可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式【解析】（1）当时，即，解得： (2) （2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列 (3) 由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是7. (2015北京高考文科T16)(13分)已知等差数列an满足a1+a2=10,a4-a3=2.(1)求an的通项公式.(2)设等比数列bn满足b2=a3,b3=a7.问:b6与数列an的第几项相等?【解题指南】利用等差数列与等比数列的基本量计算.【解析
7、】(1)设等差数列公差为d,则d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+2=10,所以a1=4.因此,an=4+(n-1)2=2(n+1).(2)设等比数列公比为q,则b2=8,b3=16,所以q=2,b1=4,bn=2n+1,b6=26+1=128.由2(n+1)=128得n=63.所以b6是数列an的第63项.8.(2015山东高考理科T18)(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn,已知2Sn=3n+3.(1)求数列an的通项公式.(2)若数列bn满足anbn=log3an,求数列bn的前n项和Tn.【解题指南】(1)an=Sn-Sn-1要注意n2并验证n=1是否满足所求出的关系式.
8、(2)利用错位相减求解.【解析】(1) ），当时，；当时，即，所以 (2) 当时，所以；当时，所以，故当时，；当时，则 两式相减得，所以.因为符合上式，所以的前项和9.(2015山东高考文科T19)(本小题满分12分)已知数列an是首项为正数的等差数列,数列的前项和为.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.【解析】(1) 由题意设，数列的前项和为，因为，解得. 所以.(2) .，则，两式相减得，所以10.（2015四川高考文科T16)(本小题满分12分) 设数列（）的前项和满足，且，成等差数列。（）求数列的通项公式；（）记数列的前项和，求【解题指南】直接利用前项和与通项的关系以及
9、等差、等比数列的通项公式及求和公式解题。【解析】（1）当时有， 则 则是以为首项，2为公比的等比数列。 又由题意得 则 （2）由题意得 由等比数列求和公式得11 .(2015天津高考理科T18)(本小题满分13分)已知数列an满足an+2=qan(q为实数,且q1),nN*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和an的通项公式.(2)设,求数列bn的前n项和.【解题指南】(1)由(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4)得a4-a2=a5-a3,先求出q,分n为奇数与偶数讨论即可.(2)求出数列bn的通项公式,用错位相减法求和即
10、可.【解析】(1)由已知, 由(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4)，即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q1,故a3=a2=2,由a3=a1q,得q=2.当n=2k-1(kN*)时, 当n=2k(kN*)时, 所以,an的通项公式为 (2)由(1)得得.设的前n项和为，则 ， 上述两式相减,得， 整理得，. 所以，数列的前n项和为，.12.(2015天津高考文科T18)(本小题满分13分)已知an是各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求an和bn的通项公式.(2)设cn=
11、anbn,nN*,求数列cn的前n项和.【解题指南】(1)列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项.(2)用错位相减法求和.【解析】(1)设an的公比为q,bn的公差为d,由题意q0,由已知,有消去d得q4-2q2-8=0,解得q=2,d=2,所以an的通项公式为an=2n-1,nN*,bn的通项公式为bn=2n-1,nN*.(2)由 ,设的前n项和为 ,则 两式相减得所以 .nN*.13.(2015新课标全国卷理科T17)(12分)Sn为数列an的前n项和.已知an0,an2+2an=4Sn+3.(1)求an的通项公式.(2)设bn=1anan+1,求数列bn的前n项和.
12、【解题指南】(1)根据an+1=Sn+1-Sn及an2+2an=4Sn+3确定an的通项公式.(2)利用裂项法求和.【解析】(1)由an2+2an=4Sn+3,可知an+12+2an+1=4Sn+1+3,可得an+12-an2+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=an+12-an2=(an+1+an)(an+1-an),由于an0,可得an+1-an=2,又a12+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去),a1=3.所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知设数列bn的前n项和为Tn,则.14.(2015四川高考理科T1
13、6)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式.(2)设数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|成立的n的最小值.【解题指南】直接利用前n项和Sn与通项an的关系以及等差、等比数列的通项公式及求和公式解题.【解析】(1)当n2时,有an=Sn-Sn-1=2an-a1-(2an-1-a1)则an=2an-1(n2),=2(n2),则是以a1为首项,2为公比的等比数列.又由题意得2a2+2=a1+a322a1+2=a1+4a1a1=2,则an=2n(nN*)(2)由题意得(nN*),由等比数列求和公式得Tn=1-()n,|Tn-1|=|-()n|=()n,n=10时,210=1024,n=9时,29=512,所以|Tn-1|1时,记,求数列cn的前n项和Tn.【解题指南】(1)由题意可列出方程组求解首项、公差、公比,再代入通项公式即可求得.(2)由(1)结合d1,可得an=2n-1,bn=2n-1,于是,易发现:cn的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的,直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.【解析】（）由题意有， 即解得 或 故或（）
