《高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第三节 平面向量的数量积学案 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第三节 平面向量的数量积学案 文（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2了解平面向量的数量积与向量投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系知识点一平面向量的数量积 1数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量_叫做a与b的数量积，记作ab，即ab_.2向量的投影：设为a与b的夹角，则_(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影3数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a
2、|与b在a的方向上的投影_的乘积答案1|a|b|cos|a|b|cos2|a|cos3.|b|cos1判断正误(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)两个向量的夹角的范围是.()答案：(1)(2)(3)2已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则()Aa2 Ba2C.a2 D.a2解析：由菱形ABCD的边长为a，ABC60得BCD120，ABD30，在BCD中，由余弦定理得BDa，所以aacos30aaa2.答案：D3已知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为_解析：b在
3、a方向上的投影为|b|cos1203().答案：知识点二平面向量数量积的运算律与性质 1平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角(1)数量积：ab|a|b|cosx1x2y1y2.(2)模：|a|.(3)夹角：cos.(4)两非零向量ab的充要条件：ab0x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2|.2平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)4判断正误(1)(ab)ca(bc)()(2)abac(a0)，则bc.()答案：(
4、1)(2)5(必修P107例6改编)设a(，1)，b，则向量a，b的夹角为()A30 B60C120 D150解析：由题意，得|a|2.|b|，ab.设向量a与b的夹角为，则cos.因为0180，所以60.答案：B第1课时平面向量的数量积热点一平面向量的数量积运算 【例1】(1)(2016天津卷)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B.C. D.(2)(2017蚌埠模拟)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，的最大值为_【解析】(1)如图，设m，n，根据已知得，m，所以mn，mn，(mn)(mn
5、)m2n2mn.(2)如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，设E(t,0)，0t1，则D(0,1)，C(1,1)，(t，1)，(1,0)所以t1.【答案】(1)B(2)11在本例题(2)中，试求的取值范围解：由本例题(2)的规范解答知，(t，1)，(t1，1)，t0,1，所以t(t1)1t2t12，因为t0,1，所以1，即的取值范围为.2本例题(2)中，当E是AB的中点时，试求在上的投影解：方法1：如图，过点E作EFDC，垂足为F，由投影的定义知，在上的投影是.方法2：如图，向量与的夹角是EDC，所以在上的投影是|cosEDC.【总结反思】求向量数量积的方法(1)定义法
6、；(2)坐标法；(3)由向量数量积的几何意义转化为一个向量在另一个向量上的投影与另一向量模的积.(1) 已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A. B.C D(2)(2017云南昆明质检)设D为ABC所在平面内一点，|2，|1，则()A1 B.C1 D解析：(1)(2,1)，(5,5)由定义知在方向上的投影为.(2)在ABC中，因为，所以BC，所以|，所以()()20()2，故选B.答案：(1)A(2)B热点二 平面向量数量积的性质应用 考向1平面向量的模【例2】已知e1，e2是平面单位向量，且e1e2. 若平面向量b满足be1be21，则|b
7、|_.【解析】e1e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260.又be1be210，b，e1b，e230.由be11，得|b|e1|cos301，|b|.【答案】考向2平面向量的夹角【例3】(2016新课标全国卷)已知向量(，)，(，)，则ABC()A30 B45C60 D120【解析】由两向量的夹角公式，可得cosABC，则ABC30.【答案】A考向3平面向量的垂直问题【例4】(1)(2016新课标全国卷)已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8 B6C6 D8(2)已知向量与的夹角为120，且|3，|2.若，且，则实数的值为_【解析】(1)由向量的坐标运算得a
8、b(4，m2)，由(ab)b，得(ab)b122(m2)0，解得m8，故选D.(2)，由于，所以0，即()()22(1)94(1)320，解得.【答案】(1)D(2)【总结反思】平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.(1)(2017云南第一次统测)已知平面向量a(3,6)，b(x，1)，如果ab，那么|b|()A. B.C3 D.(2)(2017新疆维吾尔自治区检测)已知
9、向量a，b满足ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的值为()A. BC D1(3)(2017湖南郴州第一次质量检测)已知ABC的外心P满足()，则cosA()A. B.C D.解析：(1)由题意，得6x3，则x，则|b|，故选B.(2)因为ab，所以ab0.又(3a2b)(ab)，所以(3a2b)(ab)3a23ab2ab2b212180，解得.(3)取BC的中点D，连接AD，PD，则()，又()，所以()由()()0，得|.又2，所以P又是重心，所以ABC是等边三角形，所以cosAcos60，故选A.答案：(1)B(2)A(3)A1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量
10、积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧4明确两个结论：(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有ab0，反之不成立(因为夹角为时不成立)第2课时平面向量的应用热点一平面向量在平面几何中的应用 【例1】已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A内心B外心C重心D垂
11、心【解析】由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过ABC的重心【答案】C1在本例中，若动点P满足，(0，)，则如何选择？解析：由条件，得，即，而和分别表示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必过ABC的内心答案：A2在本例中，若动点P满足，(0，)，则如何选择？解析：由条件，得，从而0，所以，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心答案：D【总结反思】向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而
12、使问题得到解决(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_解析：以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPb，则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，b)，(2，b)，(1，ab)，3(5,3a4b)，则|3|225(3a4b)2.由点P是腰DC上的动点，知0ba，因此当ba时，|3|2的最小值为25.|3|的最小值为5.答案：5热点二平面向量与函数、不等式的综合应用 【例2】(1)已知单位向量a，b，满足ab，则函数f(x)(xa2b)2(xR)()A既是奇函数又是偶函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D是奇函数(2)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90 BBAC90CAB
