《高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列学案 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列学案 文（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作 1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系知识点一等差数列的定义 如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的差等于_，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用字母d表示数学语言表达式：an1and(nN*)，d为常数答案2同一个常数公差1判断正误(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列
2、()(2)等差数列的公差是相邻两项的差()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()答案：(1)(2)(3)知识点二等差数列的通项公式与前n项和公式 1若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an_.若等差数列an的第m项为am，则其第n项an可以表示为an_.2等差数列的前n项和公式Sn_.(其中nN*，a1为首项，d为公差，an为第n项)答案1a1(n1)dam(nm)d2na1d2(必修P39练习第5题改编)在等差数列an中，a24，a3a720，则a8()A8 B12C16 D24解析：因为数列an是等差数列，由等差数列的性质得：a2a8a3a7，又a
3、24，a3a720，所以a8a3a7a220416.故选C.答案：C3(2016北京卷)已知an为等差数列，Sn为其前n项和若a16，a3a50，则S6_.解析：设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以S66a165d3615(2)6.答案：6热点一等差数列的基本运算 【例1】(1)(2016新课标全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99C98 D97(2)(2016江苏卷)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a3，S510，则a9的值是_【解析】(1)设等差数列an的公差为d，因为an为等差数列，且S99a527，所以a53.又a108，解得
4、5da10a55，所以d1，所以a100a595d98，选C.(2)设等差数列an的公差为d，则a1aa1(a1d)23，S55a110d10，解得a14，d3，则a9a18d42420.【答案】(1)C(2)20【总结反思】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.(1)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a30，则公差d等于()A1 B1C2 D2(2)设等差数列an满足a511，a123，其前n项和Sn的最大值为M，则lgM(
5、)A1 B1C2 D2解析：(1)由S33a26，得a22，又a30，所以公差d2.(2)由a511，a123，得公差d2，所以an11(n5)(2)212n，所以a119，故Sn19n(2)n220n(n10)2100100，所以M100，所以lgM2.答案：(1)D(2)C热点二 等差数列的判定与证明 【例2】已知数列an满足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bn.(1)证明：数列bn是等差数列；(2)求数列an的通项公式【解】(1)证明：，bn1bn，bn是等差数列(2)由(1)及b11.知bnn，an1，an.【总结反思】证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是
6、定义法，证明anan1d(n2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an1anan2.若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法.若数列an满足an2an12n1(nN*，n2)，a327.(1)求a1，a2的值；(2)记bn(ant)(nN*)，是否存在一个实数t，使数列bn为等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由解：(1)由a327,272a2231，得a29，由92a1221，得a12.(2)假设存在实数t，使得bn为等差数列则2b2b1b3，即2(9t)(2t)(27t)，t1.bn(an1)bnbn1(an1)(an11)(2an12n11)(an11)
7、an11an11.存在一个实数t1，使数列bn为等差数列热点三 等差数列的性质及应用 考向1通项的性质应用【例3】(1)已知数列an是等差数列，且a1a4a72，则cos(a3a5)等于()A. BC. D(2)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_【解析】(1)因为a1a4a73a42，所以a4.又a3a52a4，所以cos(a3a5)cos.故选B.(2)设该数列为an，首、末项为a1，an，当n为奇数2k1时，有a1a2k121 010，a15；当n为偶数2k时，有a1a2kakak121 010，a15.【答案】(1)B(2)5考向2前n项和Sn
8、的性质【例4】(1)(2017广东广州毕业班综合测试)设等差数列an的前n项和为Sn，且a2a7a1224，则S13()A52 B78C104 D208(2)(2017河北衡水中学一调)两个等差数列的前n项和之比为，则它们的第7项之比为()A2 B3C. D.(3)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63 B45C36 D27【解析】(1)a2a7a1224，3a724，即a78.S1313a7104，故选C.(2)设这两个数列的前n项和分别为Sn，Tn，则3，故选B.(3)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9
9、S6)，得到S9S62S63S345，故选B.【答案】(1)C(2)B(3)B【总结反思】(1)项的性质：在等差数列an中，aman(mn)dd(mn)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.(1)在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11()A18 B99C198 D297(2)(2017常德一模)已知an为等差数列，若a1a2a35，a7a8a910，则a19a20a21_.解析：(1)因为a3a927a6,2
10、a6a3a9，所以3a627，所以a69，所以S11(a1a11)11a699.(2)法1：设数列an的公差为d，则a7a8a9a16da26da36d518d10，所以18d5，故a19a20a21a712da812da912d1036d20.法2：由等差数列的性质，可知S3，S6S3，S9S6，S21S18成等差数列，设此数列公差为D.所以52D10，所以D.所以a19a20a21S21S1856D51520.答案：(1)B(2)20热点四 等差数列前n项和的最值 【例5】已知在等差数列an中，a131，Sn是它的前n项的和，S10S22.(1)求Sn；(2)这个数列前多少项的和最大？并求
11、出这个最大值【解】(1)S10a1a2a10，S22a1a2a22，又S10S22，a11a12a220，即0，即a11a222a131d0.又a131，d2.Snna1d31nn(n1)32nn2.(2)法1：由(1)知，Sn32nn2(n16)2256，当n16时，Sn有最大值256.法2：由(1)知，令(nN*)，解得n，nN*，n16时，Sn有最大值256.【总结反思】求等差数列前n项和的最值的方法(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解(2)通项公式法：求使an0(an0)成立时最大的n值即可一般地，等差数列an中，若a10，且SpSq(
12、pq)，则若pq为偶数，则当n时，Sn最大；若pq为奇数，则当n或n时，Sn最大.在等差数列an中，a129，S10S20，则数列an的前n项和Sn的最大值为()AS15 BS16CS15或S16 DS17解析：解法1：a129，S10S20，10a1d20a1d，解得d2，Sn29n(2)n230n(n15)2225.当n15时，Sn取得最大值解法2：S10S20，a11a12a200，5(a15a16)0，又a1290，a150，a160，S15最大答案：A1要注意概念中的“从第2项起”如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列2等差数列的判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B为常数)an是等差数列3方程思想和化归思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解按照属地管理，分级负责和谁主管谁负责的原则，各级党组织领导班子对本地区、本单位、本部门意识形态工作负主体责任。
