《高中数学第二章平面向量2_4平面向量的坐标课件2北师大版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章平面向量2_4平面向量的坐标课件2北师大版必修4（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.4 平面向量的坐标,【知识提炼】,1.平面向量的坐标表示 (1)向量a的坐标：_. (2)全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是 _的.,a=(x,y),一一对应,2.平面向量线性运算的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),和与差,(x1,y1),乘积,(x2,y2),(x1,y1),(x2-x1,y2-y1),其终点的相,应坐标减去起点,的相应坐标,3.向量平行的坐标表示 (1)公式：设a,b是非零向量，且a=(x1,y1),b=(x2,y2), ab_. 若y10且y20，则上式可表示为ab . (2)
2、文字语言： 定理1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的 坐标_. 定理2：若两个向量相对应的坐标_，则它们平行.,x1y2-x2y1=0,成比例,成比例,【即时小测】 1.思考下列问题: (1)如果向量的坐标已知,能确定向量的位置吗? 提示:不能.向量的坐标只能确定其方向及模长,平面向量不受位置约束. (2)对于平行向量,如何根据其坐标判断两个向量同向还是反向? 提示:由(x1,y1)=(x2,y2),当0时,两向量同向;当0时,两向量反向.,2.已知A(1,3),B(2,1),则 的坐标是 ( ) A.(-1,2) B.(2,-1) C.(1,-2) D.(-2,1) 【解析】选
3、A.向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标,故 =(1,3) -(2,1)=(-1,2).,3.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a= ( ) A.(-2,1) B.(2,-1) C.(2,0) D.(4,3) 【解析】选B.向量的减法是横坐标的差作为横坐标,纵坐标的差作为纵坐标.故b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1).,4.已知平面上三点A(2,-4),B(0,6),C(-8,10),则 的坐标 是_. 【解析】因为 =(-8,10)-(2,-4)=(-10,14), =(-8,10)-(0,6) =(-8,4), 所以 =(-5,7)-(-2,1)=(-3,6). 答案:(
4、-3,6),5.已知A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且 则x+y =_. 【解析】因为 =(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2), =(x,y)-(2,3)= (x-2,y-3), 又 即(2x-4,2y-6)=(-1,2), 答案:,【知识探究】 知识点1 向量的坐标及其线性运算 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:点的坐标与向量坐标有区别吗? 问题2:相等向量的坐标相同吗?相等向量的起点、终点一定相同吗?,【总结提升】 1.对平面向量坐标表示的三点说明 (1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关. (2)向量确定后,向量的坐
5、标就被确定了. (3)引入向量的坐标表示以后,向量就有两种表示方法:一种是几何法,即用向量的长度和方向表示;另一种是坐标法,即用一对有序实数表示.有了向量的坐标表示,就可以将几何问题转化为代数问题来解决.,2.点的坐标与向量坐标的区别与联系 (1)区别 表示形式不同,向量a=(x,y)中间用等号连接,而点的坐标A(x,y)中间没有等号. 意义不同,点A(x,y)的坐标(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置,a=(x,y)的坐标(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向,另外(x,y)既可以表示点,也可以表示向量,叙述时应指明点(x,y)或向量a=(x,y).,(2)联系 当平面向量的起点
6、在原点时,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. 3.向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算:此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用.,(2)字母表示下的几何运算:此运算体系下一方面要注意运算律的应用, 另一方面要注意 等运算法则的应用. (3)坐标表示下的代数运算:此运算体系下要牢记公式,且细心运算.若 已知有向线段两个端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐标运 算.,知识点2 向量平行的坐标表示 观察如图所示内容,回答下列问题: 问题1:两向量平行的条件 与x1y2-x2y1=0有何区别? 问题2:向量平行的坐标表示有何作用?,【总结提升】 1.对向量平行的三种理解
7、(1)ab(b0)a=b.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2)aba1b2-a2b1=0,其中a=(a1,b1),b=(a2,b2).这是代数运算,由于不需引进参数,从而简化了代数运算.,(3)ab 其中a=(a1,b1),b=(a2,b2)且b10,b20.即两向 量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示, 而且不易出现搭配错误. 2.三点共线问题 已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), (1)当(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0时三点共线. (2)若存在实数使 则三点共线.,【题型探究】 类型一 平
8、面向量的坐标表示及线性运算 【典例】1.已知 =(1,2),A(3,4),则B点坐标是_. 2.(1)已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),求 (2)已知a=(1,2),b=(-3,4),求向量a+b,a-b,3a-4b的坐标.,【解题探究】1.向量的坐标与起点坐标、终点坐标的关系是什么? 提示:向量的坐标等于终点坐标减起点坐标. 2.向量的线性运算有何特征? 提示:向量的线性运算是横坐标与横坐标及纵坐标与纵坐标之间的运算.,【解析】1.设B点的坐标为(x,y),则=(x-3,y-4)=(1,2). 所以 所以B点的坐标是(4,6). 答案:(4,6),2.(1)因为A(4
9、,6),B(7,5),C(1,8). 所以 =(7,5)-(4,6)=(3,-1), =(1,8)-(4,6)=(-3,2), =(3,-1)+(-3,2)=(0,1), =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3), =2(3,-1)+ (-3,2),(2)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6), a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2), 3a-4b=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10).,【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向
10、量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.,【拓展延伸】坐标形式下的向量相等的条件及其应用 (1)条件:相等向量的对应坐标相等. (2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可求某些参数的值.,【变式训练】已知a=(x+3y,2x+y+2),b=(y-2x+1,3x-y+7),若a=b,求实数x,y的值. 【解析】由题意,可列方程组,类型二 平面向量平行的坐标表示及其应用 【典例】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行? 【解题探究】典例中ka+b与a-3b的坐标分别是什么? 提示:ka+b=(k-3,2k+2),a
11、-3b=(10,-4).,【解析】方法一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数, 使ka+b=(a-3b).即(k-3,2k+2)=(10,-4), 所以 所以当k=- 时,ka+b与a-3b平行,方法二:由方法一知ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4), 因为ka+b与a-3b平行, 所以(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=- .,【延伸探究】 1.(改变问法)本题条件不变,判断ka+b与a-3b平行时,它们是同向还是反向?,【解析】方法
12、一:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数,使ka+b=(a-3b). 即(k-3,2k+2)=(10,-4), 所以 所以当k=- 时,ka+b与a-3b平行, 这时ka+b=- a+b=- (a-3b), 因为=- 0,所以ka+b与a-3b反向.,方法二:由方法一知ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4), 因为ka+b与a-3b平行, 所以(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=- . 此时ka+b=(- -3,- +2)=- (a-3b)
13、. 所以当k=- 时,ka+b与a-3b平行,并且反向.,2.(变换条件)本题条件变为“已知a=(1,2),b=(-3,2),c=(3,4).若 为实数,(a+b)c”,求的值. 【解析】可得a+b=(1-3,2+2),由(a+b)c得(1-3)4 -3(2+2)=0,解得=- .,【方法技巧】利用向量平行的条件处理求值问题的思路 (1)利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表达式a1b2-a2b1=0直接求解.,易错案例 向量坐标的运算 【典例】(2015济源高一检测)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 (R),当点P在第三象限时,的取值范围
14、是_.,【失误案例】,【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因在于把向量 的坐标当作点P的坐标,混淆了点 的坐标与向量坐标的概念.,【自我矫正】由已知得 =(5,4)-(2,3)=(3,1), =(7,10)-(2,3)=(5,7), 所以 =(3,1)+(5,7)=(3+5,1+7), 设点P(x,y), 则 =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3). 所以(x-2,y-3)=(3+5,1+7),又因为点P在第三象限, 所以 解得-1. 所以的取值范围是(-,-1). 答案:(-,-1),【防范措施】 1.明确向量坐标与点的坐标的区别 向量的坐标是终点坐标减起点坐标,当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标与其终点的坐标相同,如本题点P的坐标不是向量的坐标.,2.正确理解向量相等 两个向量相等即方向相同,模长相等;坐标形式下的向量相等即坐标对应相等.正确利用向量相等可建立相等关系,由此可求某些参数的值,如本例灵活利用向量相等是解题的关键.,
