《高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2_1_2 空间中直线与直线之间的位置关系学案（含解析）新人教a版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2_1_2 空间中直线与直线之间的位置关系学案（含解析）新人教a版必修2（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、镇成立由镇委书记孙广东任组长，镇委副书记、镇长任副组长，镇直相关部门主要领导为成员的意识形态工作领导小组，统筹协调全镇意识形态工作21.2空间中直线与直线之间的位置关系空间两直线的位置关系提出问题立交桥是伴随高速公路应运而生的城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景为了车流畅通，并安全地通过交叉路口，1928年，美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年，芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年，瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥从此，城市交通开始从平地走向立体问题1：在同一平面内，两直线有怎样的位置关系？提示：平行或相交问题2：若
2、把立交桥抽象成一直线，它们是否在同一平面内？有何特征？提示：不共面不相交也不平行问题3：观察一下，教室内日光灯管所在直线与黑板的左、右两侧所在直线，是否也具有类似特征？提示：是导入新知1异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线(2)异面直线的画法2空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点化解疑难1对于异面直线的定义的理解异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线例如
3、，如图所示的长方体中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线，故AB与B1C1是异面直线2空间两条直线的位置关系(1)若从有无公共点的角度来看，可分为两类：直线(2)若从是否共面的角度看，也可分两类：直线平行公理及等角定理提出问题1同一平面内，若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行问题：空间中是否有类似规律？提示：有2观察下图中的AOB与AOB.问题1：这两个角对应的两条边之间有什么样的位置关系？提示：分别对应平行问题2：测量一下，这两个角的大小关系如何？提示：相等导入新知1平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线
4、互相平行这一性质叫做空间平行线的传递性(2)符号表述：ac.2等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)(2)异面直线所成的角的取值范围：090.(3)当90时，a与b互相垂直，记作ab.化解疑难对平行公理与等角定理的理解公理4表明了平行的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理4的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同时
5、，它们相等，否则它们互补两直线位置关系的判定例1如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_. 答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面类题通法1判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断2判定两条直线是异面直线的方法(1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点
6、的直线是异面直线用符号语言可表示为A，B，l，BlAB与l是异面直线(如图)活学活用如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)不是异面直线理由：M，N分别是A1B1，B1C1的中点，MNA1C1.又A1A綊D1D，而D1D綊C1C，A1A綊C1C.四边形A1ACC1为平行四边形A1C1AC，得到MNAC.A，M，N，C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1，
7、BC 平面CC1D1.而BC平面CC1D1，BC平面CC1D1，假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.平行公理及等角定理的应用例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：BMCB1M1C1.解证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，MM1綊AA1.又AA1綊BB1，MM1BB1，且MM1BB1，四边形BB1M1M为平行四边形(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.由平面几何知识可知，BM
8、C和B1M1C1都是锐角BMCB1M1C1.法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，B1M1BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，C1M1CM.又B1C1BC，BCMB1C1M1.BMCB1M1C1.类题通法1证明两条直线平行的方法：(1)平行线定义；(2)三角形中位线定理、平行四边形性质等；(3)公理4.2空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，当两个角的两边方向都相同时或都相反时，两个角相等，否则两个角互补，因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的活学活用已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点求证
9、：BF綊ED1.证明：如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE.F为CC1的中点，BG綊C1F.四边形BGC1F为平行四边形BF綊GC1.又EG綊A1B1，A1B1綊C1D1，EG綊D1C1，四边形EGC1D1为平行四边形，ED1綊GC1，BF綊ED1.两异面直线所成的角例3如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，E，F分别是BD1和AD的中点，求异面直线CD1，EF所成的角的大小解取CD1的中点G，连接EG，DG，E是BD1的中点，EGBC，EGBC.F是AD的中点，且ADBC，ADBC，DFBC，DFBC，EGDF，EGDF，四边形EFDG是平行四边形，EFDG，DGD
10、1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角又A1AAB，四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，且G为CD1的中点，DGCD1，D1GD90，异面直线CD1，EF所成的角为90.类题通法求两异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；(2)证：证明作出的角就是要求的角；(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括同时注意异面直线所成角的取值范围是090.活学活用已知ABCDA1B1C1D1是正方体，求异面直线A1C1与B1C所成的角的大小解：如图所示，连接A1D和C1D.B1CA1D，DA1C1即为异面直线A1C1与B
11、1C所成的角A1D，A1C1，C1D为正方体各面上的对角线，A1DA1C1C1D，A1C1D为等边三角形即C1A1D60.异面直线A1C1与B1C所成的角为60.典例在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形证明如图，连接BD.因为EH是ABD的中位线，所以EHBD，且EHBD.同理，FGBD，且FGBD.因此EHFG.又EHFG，所以四边形EFGH为平行四边形多维探究1矩形的判断本例中若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题可知EHBD，同理EFAC，又BDAC，因此EHEF，所以四边形EFGH为矩形2菱形
12、的判断本例中，若加上条件“ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由例题知EHBD，且EHBD，同理EFAC，且EFAC.又ACBD，所以EHEF.又四边形EFGH为平行四边形，所以四边形EFGH为菱形3正方形的判断本例中，若加上条件“ACBD，且ACBD”，则四边形EFGH是什么形状？证明：由探究1与2可知，四边形EFGH为正方形4梯形的判断若本例中，E，H分别是AB，AD中点，F，G分别是BC，CD上的点，且CFFBCGGD12，则四边形EFGH是什么形状？证明：由题意可知EH是ABD的中位线，则EHBD且EHBD.又，FGBD，FGBD，FGEH且FGEH，四边形EFGH是梯形方法
13、感悟根据三角形的中位线、公理4证明两条直线平行是常用的方法公理4表明了平行线的传递性，它可以作为判断两条直线平行的依据，同时也给出空间两直线平行的一种证明方法随堂即时演练1如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是()A6B4C5 D8答案：B2已知ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR等于()A30 B30或150C150 D以上结论都不对答案：B3已知正方体ABCDEFGH，则AH与FG所成角的度数是_答案：454给出下列说法：(1)若直线上有两个点在平面外，则直线上至少有一个点在平面内；(2)若直线上有两个点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面内；(3)若直线上有两个点在平面外，则直线上所有点都在平面外；(4)若直线上有两个点在平面外，则直线上至多有一个点在平面内；(5)若a，b是异面直线，ca，那么c与b一定是异面直线其中正确的是_(填序号)答案：(4)5如图所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角的大小答案：45课时达标检测一、选择题1若a，b，c是空间三条直线，ab，a与c相交，则b与c的位置关系是()A异面
